为什么方程组无解？

Question

如题所述

Answer 1

（文章由ChatGPT生成）根据矩阵论中的克拉默定理，对于线性方程组Ax=b，当系数矩阵A的秩等于增广矩阵(A|b)的秩时，方程组有解。因此，我们需要比较矩阵A的秩和(A|b)的秩。

由于m > n，所以A的秩最多为n，而(A|b)的秩最多为m。如果r(A) < n，则矩阵A的列空间的维数小于n，因此无法表示n维向量空间中的所有向量。因此，对于r(A) < n，方程组Ax=b没有唯一解。当r(A) = n时，方程组Ax=b可能有无穷多个解或者唯一解，具体取决于b在A的列空间中的位置。

而当r(A) > n时，A的行向量的线性相关性会导致(A|b)的秩小于m，从而使得方程组Ax=b无解。

综上所述，对于m > n的矩阵A，如果r(A) < n，则方程组Ax=b没有唯一解；如果r(A) = n，则方程组Ax=b可能有无穷多个解或者唯一解；如果r(A) > n，则方程组Ax=b无解。