当我们研究随时间变化的预测指标数据序列时,它被视为一个随机过程,其中的变量间关系反映了数据在时间维度上的连续性。这个序列受到多个因素的影响,如x1, x2, ..., xk,这些因素通过回归分析得以揭示。
预测目标Yt的观测值,由其自身的动态规律决定,这个规律可以用以下公式来表达:
Yt = b0 + b1 * X1t + ... + bk * Xkt + et
其中,Yt是当前时刻的预测值,X1t至Xkt代表影响因素,b0至bk是相应的系数,et表示误差项。这个误差项在不同时间点之间存在依赖关系,通常假设为:
et = ω1 * et-1 + εt
这里,ω1是误差项的自相关系数,εt是独立的随机扰动。将两者结合,我们得到ARMA(自回归移动平均)模型的基本形式:
ARMA(p, q)模型: Yt = b0 + b1 * Xt-1 + ... + bp * Xt-p + ω1 * et-1 + ω2 * et-2 + ... + ωq * et-q + εt
在这个表达式中,Xt-1至Xt-p是自回归项,et-1至et-q是移动平均项,共同刻画了预测对象Yt的动态行为和误差项的长期依赖关系。
ARMA 模型(Auto-Regressive and Moving Average Model)是研究时间序列的重要方法,由自回归模型(简称AR模型)与滑动平均模型(简称MA模型)为基础“混合”构成。在市场研究中常用于长期追踪资料的研究,如:Panel研究中,用于消费行为模式变迁研究;在零售研究中,用于具有季节变动特征的销售量、市场规模的预测等。