如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在 轴， 轴上，四边形ABCO为矩形，AB=16，点D与点A关于 轴对称

Question

如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在 轴， 轴上，四边形ABCO为矩形，AB=16，点D与点A关于 轴对称，tan∠ACB= ，点E，F分别是线段AD，AC上的动点（ 点E不与点A，D重合），且∠CEF=∠ACB。（1）求AC的长和点D的坐标； （2）说明△AEF与△DCE相似； （3）当△EFC为等腰三角形时，求点E的坐标。

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCO为矩形，∴∠B=90°， 在Rt△ABC中，BC=AB÷tan∠ACB=16÷ =12，则AO=BC=12，   ∴ A（-12，0），点D与点A关于 轴对称，∴D（12，0）； （2）∠ AFE是△CEF的外角，∴∠AFE=∠FCE+∠CEF， ∵∠CE F=∠ACB，∴∠AFE=∠FCE+∠ACB=∠BCE， ∵BC∥AD， ∴∠BCE=∠DEC，∴∠AFE=∠DEC①， ∵点A与点D关于 轴对称，而C，O在对称轴上， ∴△ACO与△DCO关于 轴对称，∴∠FAE=∠EDC②， 由①，②得△AEF∽△DCE； （3）当FE=EC时，△EFC为等腰三角形， 由（2），△AEF∽△DCE，∴FE:EC=AE:DC， 此时，AE=DC=AC= =20， 则E（8，0）； 当CF=CE时，∠CFE=∠CEF=∠ACB， 则有EF∥BC， 此时，点F与A重合，则点E在D处，与已知矛盾； 当CF=FE时，∠FCE=∠CEF， 又∵△AEF∽△DCE，∴∠AEF=∠DCE∴∠FCE+∠DCE =∠CEF+∠AEF， 即∠ACD=∠AEC， 而∠CAE=∠DAC， ∴△AEC∽△ACD，AE:AC=AC:AD， 而AD=18，∴AE= 则E（ ，0）， ∴当△EFC为等腰三角形时，求点E的坐标为（8，0）或（ ，0）。