如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，M是AB的中点，以CM为直径的⊙O与△ABC的三边分别交于D、E、F

Question

如题所述

Answer 1

（1）证明：因为解ACB=90度
所以三角形ACB是直角三角形
因为M是AB的中点
所以CM是直角三角形ACB的中线
所以CM=BM
所以角MCB=角B
因为CM是圆O的直径
所以角CDM=90度
所以角CDM+角ACB=180度
所以DM平行BC
所以角MDF=角CFD
因为角MDF=角MCB=1/2弧MEF
所以角MDF=角B
所以角B=角CFD
所以DF平行AB
(2)解：因为MP/CP=1/4
所以MP/CM=1/5
因为OC=OM=2CM
所以MP/OM=2/5
因为OP=OM-MP
所以OP/OM=3/5
所以OP/MP=3/2
因为DF平行AB（已证）
所以角POD=角OME
角PDO=角PEM
所以三角形POD和三角形PME相似（AA)
所以OP/MP=DP/PE=3/2
所以PE=2/3DP
因为DP*PE=MP*CP
所以2/3DP^2=4/25CM^2
所以DP^2/CM^2=6/25
因为DP=6倍根号2
所以CM=10倍根号3
（3）解：设圆O的半径为R
所以CM=2OC=2OM=2R
因为MP/CP=y
所以MP/CM=y/y+1
MP/R=2Y/Y+1
CM/CP=y+1/y
CP/R=2R/y+1
因为OP=OM-MP=R-MP
所以OP=R*(1-Y)/1+Y
OP/R=1-y/1+y
因为OP/PM=DP/PE
所以DP/PE=1-y/y
PE=(y/1-y)*DP
因为MP*CP=DP*PE
所以DP^2*(y/1-y)=4R^2*（1-y)/(1+y)^2
因为DF平行AB(已证）
所以弧EF=弧DM
角A=角CDF
因为DM平行BC（已证）
所以弧DM=弧CF
所以弧CF=弧EF
因为角CDF=1/2弧CF
角EDF=1/2弧EF
所以角CDF=角EDF
所以DF平分角CDE
所以OP/OC=OP/OC
所以DP^2/DC^2=OP^2/OC^2
所以CM^2/DC^2=(1-y)^2/(1+y)^2
CM^2=DC^2*((1-y)
因为角ACB=90度
所以三角形CDF是直角三角形
所以tan角CDF=CF/DC
DF^2=CF^2+DC^2
所以tanA=DF/DC
因为tanA=x
所以DF/DC=x
所以DF=DC*x
所以DC^2(1+x^2)=CM^2=DC^2*(1-y)
1+x^2=1-y^2
所以y=-x^2 (0<x<1)