如图,三角形ABC中,角ACB=90°,AC=BC,D为AB上一点,E在AB的延长线上，且角DCE=45°，求证

Question

如图,三角形ABC中,角ACB=90°,AC=BC,D为AB上一点,E在AB的延长线上，且角DCE=45°，求证：AD^2+BE^2=DE^2

Answer 1

证明：

作AF⊥AB，使AF=BE，连接CF，DF。

∵AC=BC，∠ACB=90°

∴∠CAB=∠CBA=45°

∴∠CAF=45°+90°=135°

   ∠CBE=180°-45°=135°

∴∠CAF=∠CBE

又∵AC=BC，AF=BE

∴△CAF≌△CBE（SAS）

∴CF=CE，∠ACF=∠BCE

∵∠DCF=90°-∠ACF-∠DCB=90°-∠BCE-∠DBC=90°-∠DCE=45°

∴∠DCF=∠DCE

又∵CF=CE，CD=CD

∴△DCF≌△DCE（SAS）

∴DF=DE

∵AD^2+AF^2=DF^2

∴AD^2+BE^2=DE^2