求解下列两道定积分应用题，过程详细一点，感谢

Question

非常感谢！

Answer 1

(1)。求由曲线y=√x的一条切线L，使由曲线与切线L，直线x=0，x=2所围成的图像面积最小；

并求此最小面积绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。

解：y'=1/(2√x)；设切点为(xo，√xo)；那么切线方程为：

y=[1/(2√xo)](x-x0)+√xo=[1/(2√xo)]x+(1/2)√xo；设所围面积为S，则：

此时1/√xo=√xo，即xo=1,yo=1时所围面积最小，最小值为(6-4√2)/3；

此时的切线方程为：y=(1/2)(x-1)+1=(1/2)x+(1/2)=(1/2)(x+1);

设旋转体的体积为V，则：

(2). 求由曲线y=x²-2x，y=0，x=1，x=3所围图形的面积，及此图像绕y轴旋转一周所得旋转体

的体积；

解：y=x²-2x=(x-1)²-1；抛物线，顶点(1，-1)；开口朝上；当1≦x≦2时面积为负值；∴面积S：

由y=(x-1)²-1，得x=1±√(y+1)；当1≦x≦2时，x=1-√(y+1)；当2≦x≦3时x=1+√(y+1)；

x=1时y=-1；x=3时y=3；设此图形绕y轴旋转所得旋转体的体积为V，则：

Answer 2

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Answer 3

第一题：
切点在（1，1）时，最小面积=(6-4√2)/3
此时绕x轴旋转体积=π/6
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第二题：
面积 = 2
体积 = 9π
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详见下面两图追答

第二题见下图：