用定义
设k1（a1+a2）+k2（2a2+a3）+k3（a3-3a1）=0
重新分组：a1(k1-3k3) + a2(k1+2k2) + a3(k2+k3)=0
因为a1，a2，a3线性无关，所以有方程组：k1-3k3=0; k1+2k2=0; k2+k3=0
....
行列式：
1 0 -3
1 2 0
0 1 1
不等于0，所以方程只有零解，即k1，k2，k3都等于0，所以向量组a1+a2，2a2+a3，a3-3a1线性无关。
定理
1、向量a1，a2， ···，an(n≧2)线性相关的充要条件是这n个向量中的一个为其余(n-1)个向量的线性组合。
2、一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量。
3、两个向量a、b共线的充要条件是a、b线性相关。
4、三个向量a、b、c共面的充要条件是a、b、c线性相关。
5、n+1个n维向量总是线性相关。