角平分线,是指从角的顶点到对边的一条线段,将角分成两个相等的部分,即平分角。角平分线有许多重要的性质和结论,本文将分享其中的三个结论。
结论一:角平分线上的中垂线与角的两边相交于直角
在任意三角形中,如果一条角平分线与边上的中垂线相交,那么这条角平分线将这条边分成两段,它们的长度成比例。
结论:$\\frac{AB}{BC}=\\frac{AD}{DC}$
证明:
如图1,以 $\\triangle ABC$ 的角 $B$ 为例,$BE$ 是角 $B$ 的平分线,$AD$ 是边 $AB$ 上的中垂线。
图1
作 $EF\\perp BC$,交于 $F$,则 $\\because AD\\perp BC$,$\\therefore AD\\parallel EF$。
因为 $BE$ 是角 $B$ 的平分线,$\\therefore\\angle ABE=\\angle CBE$。
所以 $\\because AE=CE$(角平分线定理),又因为 $\\triangle ADE\\cong \\triangle CDE$(对边垂线定理),即 $AD=CD$,$\\angle AED=\\angle CED=90^\\circ$,所以 $\\triangle ADE$ 与 $\\triangle CDE$ 是由一条公共边 $DE$ 及其相对边 $AD$ 和 $CD$ 组成的同样形状的三角形,由此可证:
$$\\frac{AB}{BC}=\\frac{AD}{DC}$$
又因为 $EF \\perp BC$,$AD \\perp BC$,所以 $\\angle AEF=\\angle CED$。
又因为 $\\angle ADE = \\angle CDE$,所以$\\triangle ADE \\cong \\triangle CDE$($AAS$),即:$AE=CE$
因此 $\\triangle AEF\\cong\\triangle CEF$($SAS$),于是 $\\angle EAF=\\angle ECF$。
故 $\\angle BAF=\\angle CEF$,所以 $AF\\parallel BC$。
因为 $\\angle EAF=\\angle CIE$,$\\angle BAF=\\angle CFE=\\angle CEF$,所以 $\\triangle BAF\\cong\\triangle CEF$,故 $\\angle BFA=\\angle CFE$,所以 $\\angle BFC=2\\angle BAC$。
综上所述,角平分线上的中垂线与角的两边相交于直角。
结论二:角平分线的长度公式
在任意三角形中,以 $a,b,c$ 分别表示三角形 $\\triangle ABC$ 的三边长,以 $l_a,l_b,l_c$ 分别表示角 $A,B,C$ 所在的角平分线。那么,有以下公式成立:
$$\\frac{l_a}{a}=\\frac{l_b}{b}=\\frac{l_c}{c}=\\frac{2}{a+b+c}\\sqrt{bcs(s-a)}$$
其中 $s$ 为 $\\triangle ABC$ 的半周长,即 $s=\\frac{1}{2}(a+b+c)$。
结论三:角平分线的外角与对角线成比例
在任意三角形 $\\triangle ABC$ 中,角平分线 $AD$ 与线段 $BC$ 的外角 $BEC$ 成比例,即
$$\\frac{BE}{EC}=\\frac{AB}{AC}$$
如图2,以 $\\triangle ABC$ 的角 $A$ 为例,$AD$ 是角 $A$ 的平分线,作 $DE\\parallel AB$,$AF\\parallel BC$,则 $\\angle CAF=\\angle BEC$,所以 $\\angle BDE=\\angle CAF$,又 $\\triangle ADE\\sim \\triangle ABC$,所以 $\\frac{AE}{AB}=\\frac{DE}{BC}$,又因为 $DE\\parallel AB$,所以 $\\frac{AE}{AB}=\\frac{DE}{BD}$,故 $\\frac{DE}{BC}=\\frac{AE}{AB}=\\frac{DE}{BD}$,所以 $BC=BD+DC$。
例如:
设 $AB=c,AC=b,AD=d,BE=e,EC=f$。
$\\because\\triangle ABD\\sim\\triangle ABC$,$\\therefore\\frac{AB}{BD}=\\frac{AD}{BC}$,即$\\frac{c}{BD}=\\frac{d}{b+c}$,$\\therefore BD=\\frac{c\\cdot d}{b+c}$。同理,$\\triangle ADC\\sim\\triangle ABC$,$\\frac{AC}{DC}=\\frac{AD}{BC}$,$\\therefore DC=\\frac{b\\cdot d}{b+c}$,即 $BC=BD+DC=\\frac{cd}{b+c}+\\frac{bd}{b+c}=\\frac{b+c}{bc}(bd+cd)$,$\\therefore d=\\frac{2\\sqrt{bcs(s-a)}}{b+c}$。再用一些等式变形及类似三角形的比较即可得到上述的结论。
总结
角平分线是三角形中十分重要的一个概念,涉及到许多性质和结论。通过学习这三个重要的角平分线结论,不仅可以更加深入地了解三角形的性质,还可以提升几何证明能力。好好掌握这些知识,丰富自己的数学知识体系,助力自己的高考学习之路!
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