角平分线的三个结论

Question

如题所述

Answer 1

　　角平分线，是指从角的顶点到对边的一条线段，将角分成两个相等的部分，即平分角。角平分线有许多重要的性质和结论，本文将分享其中的三个结论。
　　结论一：角平分线上的中垂线与角的两边相交于直角
　　在任意三角形中，如果一条角平分线与边上的中垂线相交，那么这条角平分线将这条边分成两段，它们的长度成比例。
　　结论：$\\frac{AB}{BC}=\\frac{AD}{DC}$
　　证明：
　　如图1，以 $\\triangle ABC$ 的角 $B$ 为例，$BE$ 是角 $B$ 的平分线，$AD$ 是边 $AB$ 上的中垂线。
　　图1
　　作 $EF\\perp BC$，交于 $F$，则 $\\because AD\\perp BC$，$\\therefore AD\\parallel EF$。
　　因为 $BE$ 是角 $B$ 的平分线，$\\therefore\\angle ABE=\\angle CBE$。
　　所以 $\\because AE=CE$(角平分线定理)，又因为 $\\triangle ADE\\cong \\triangle CDE$(对边垂线定理)，即 $AD=CD$，$\\angle AED=\\angle CED=90^\\circ$，所以 $\\triangle ADE$ 与 $\\triangle CDE$ 是由一条公共边 $DE$ 及其相对边 $AD$ 和 $CD$ 组成的同样形状的三角形，由此可证：
　　$$\\frac{AB}{BC}=\\frac{AD}{DC}$$
　　又因为 $EF \\perp BC$，$AD \\perp BC$，所以 $\\angle AEF=\\angle CED$。
　　又因为 $\\angle ADE = \\angle CDE$，所以$\\triangle ADE \\cong \\triangle CDE$($AAS$)，即：$AE=CE$
　　因此 $\\triangle AEF\\cong\\triangle CEF$($SAS$)，于是 $\\angle EAF=\\angle ECF$。
　　故 $\\angle BAF=\\angle CEF$，所以 $AF\\parallel BC$。
　　因为 $\\angle EAF=\\angle CIE$，$\\angle BAF=\\angle CFE=\\angle CEF$，所以 $\\triangle BAF\\cong\\triangle CEF$，故 $\\angle BFA=\\angle CFE$，所以 $\\angle BFC=2\\angle BAC$。
　　综上所述，角平分线上的中垂线与角的两边相交于直角。
　　结论二：角平分线的长度公式
　　在任意三角形中，以 $a,b,c$ 分别表示三角形 $\\triangle ABC$ 的三边长，以 $l_a,l_b,l_c$ 分别表示角 $A,B,C$ 所在的角平分线。那么，有以下公式成立：
　　$$\\frac{l_a}{a}=\\frac{l_b}{b}=\\frac{l_c}{c}=\\frac{2}{a+b+c}\\sqrt{bcs(s-a)}$$
　　其中 $s$ 为 $\\triangle ABC$ 的半周长，即 $s=\\frac{1}{2}(a+b+c)$。
　　结论三：角平分线的外角与对角线成比例
　　在任意三角形 $\\triangle ABC$ 中，角平分线 $AD$ 与线段 $BC$ 的外角 $BEC$ 成比例，即
　　$$\\frac{BE}{EC}=\\frac{AB}{AC}$$
　　如图2，以 $\\triangle ABC$ 的角 $A$ 为例，$AD$ 是角 $A$ 的平分线，作 $DE\\parallel AB$，$AF\\parallel BC$，则 $\\angle CAF=\\angle BEC$，所以 $\\angle BDE=\\angle CAF$，又 $\\triangle ADE\\sim \\triangle ABC$，所以 $\\frac{AE}{AB}=\\frac{DE}{BC}$，又因为 $DE\\parallel AB$，所以 $\\frac{AE}{AB}=\\frac{DE}{BD}$，故 $\\frac{DE}{BC}=\\frac{AE}{AB}=\\frac{DE}{BD}$，所以 $BC=BD+DC$。
　　例如：
　　设 $AB=c,AC=b,AD=d,BE=e,EC=f$。
　　$\\because\\triangle ABD\\sim\\triangle ABC$，$\\therefore\\frac{AB}{BD}=\\frac{AD}{BC}$，即$\\frac{c}{BD}=\\frac{d}{b+c}$，$\\therefore BD=\\frac{c\\cdot d}{b+c}$。同理，$\\triangle ADC\\sim\\triangle ABC$，$\\frac{AC}{DC}=\\frac{AD}{BC}$，$\\therefore DC=\\frac{b\\cdot d}{b+c}$，即 $BC=BD+DC=\\frac{cd}{b+c}+\\frac{bd}{b+c}=\\frac{b+c}{bc}(bd+cd)$，$\\therefore d=\\frac{2\\sqrt{bcs(s-a)}}{b+c}$。再用一些等式变形及类似三角形的比较即可得到上述的结论。
　　总结
　　角平分线是三角形中十分重要的一个概念，涉及到许多性质和结论。通过学习这三个重要的角平分线结论，不仅可以更加深入地了解三角形的性质，还可以提升几何证明能力。好好掌握这些知识，丰富自己的数学知识体系，助力自己的高考学习之路!