正态分布计算公式

Question

如题所述

Answer 1

正态分布公式推导如下：

根据实际含义，当 x 越大或者越小时（即远离原点时），PDF应该更小，因此有：

(1)fX(x)=Ae−Bx2

又因为根据定义，有：

(2)∫−\infin+\infinfX(x)=1

则对 (1) 式中 exp 项积分，有：

(3)∫−∞+∞e−Bx2dx=πB

因此可知

A=Bπ

即：

(4)fX(x)=Bπe−Bx2dx

检查其期望和方差，有：

(5)E[X]=∫−∞+∞Bπxe−Bx2dx=0

(6)Var(X)=∫−∞+∞Bπx2e−Bx2dx=12B

为了保证 σ2=1 ，令 B=1/2 ，得到：

(7)fX(x)=12πe−x2/2

标准正态分布公式

标准正态分布，是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。期望值μ=0,即曲线图像对称轴为Y轴，标准差σ=1条件下的正态分布，记为N(O, 1)。

标准正态分布曲线下面积分布规律是：在-1.96 ~ +1.96范围内曲线下的面积等于0.9500，在-2.58 ~ +2.58范围内曲线下面积为0.9900。统计学家还制定了一张统计用表(自由度为∞时)，借助该表就可以估计出某些特殊u1和u2值范围内的曲线下面积。