一个函数在R上单调减,那么它的导函数可不可以取等号?

如题所述

“函数f(x)在闭区间[a,b]上单调递减”的定义是“f(x)在闭区间[a,b]上有定义,(设ε为正小量)若对任意x0∈(a,b),都有f(a)≥f(x0-ε)>f(x0)>f(x0+ε)≥f(b),则说f(x)在闭区间[a,b]上是单调递减的”
这个定义很抽象,必须借助导数来解释。
在判断函数增减性时,不可避免地要涉及到导数,你这个问题需要分不同的情况来解释。
若一个函数在R上单调递减,首先得满足“它的定义域是R”,其次:
①若f(x)在R上是连续的,则“f(x)在R上单调递减”的充要条件是:
“f(x)在可导区间内的导数小于等于0恒成立,且这些区间内的导数的零点个数有限(或者用Mscheng19的话‘且导数在任何一个开子区间上不横等于0’也行)”。
因为f(x)在R上连续,所以无视不可导的点
②若f(x)在R上是不连续的,则“f(x)在R上单调递减”的充要条件是:
“函数f(x)在所有的连续区间内都满足上述定义①,且对于R上任意不连续的点(m,f(m)),都有:(x1→m-)limf(x1)≥f(m)≥(x2→m+)limf(x2)。”
如果你把上述定义理解透彻了,我想你这个问题对你来说就应该不会太困难了吧。
一般来说,出的题不会存在“函数f(x)在某个区间内为常函数”的情况(当然,如果有这种情况,则f(x)不是减函数)。所以你在列恒成立不等式的时候,最好加上等号。
比如下面一道例题:
定义在R上的函数f(x)=(-1/3)x^3+2x^2-ax在R上单调递减,求实数a的取值范围。
(这道题就必须取等,否则你的答案就错了。你可以试着做一下)
若有不明白的地方,欢迎追问。
温馨提示:答案为网友推荐,仅供参考
第1个回答  2019-12-27
你好!
结论:f(x)在区间上严格单调递增的充要条件是f'(x)>=0,且在任何一个开子区间上不横等于0。证明:若f递增,显然f'(x)>=0。若在某一个开子区间上f'恒等于0,则f在此区间上是常数,矛盾。
反之,由f'>=0,故f递增。若f不是严格递增,则存在两点a
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