为了简化问题，关注算法，本文的讨论基于以下三点：
1. 只考虑 + - * / ( ) 这几个基本运算符，且是二元操作
2. 运算数只考虑 0-9，这10个简单的数，方便从string中取出来
3. 输入的表达式没有语法错误
【背景知识】
中缀表示法（Infix expression）：操作符位于两个操作数中间，算术表达式的常规表示法。只用于二元操作符的情况，而且需要用括号和优先规则排除多义性。(A+B)*C-D/(E+F)
前缀表示法（Prefix expression）：也叫波兰表示法，操作符写在操作数的前面。这种方法常用于编译器设计方面。-*+ABC/D+EF
后缀表示法（Postfix expression），逆波兰表示法，操作符位于操作数后面。这种方法使表达式求值很方便。AB+C*DEF+/-
前、后缀表示法的三个特征：
1. 操作数的顺序与等价的中缀表示法中操作数的顺序一致
2. 不需要括号
3. 操作符的优先级不相关
用二叉树来表示更直观，前、中、后缀表示法分别对应前序、中序、后序遍历得到的结果。
【算符优先法】
输入中缀表达式，直接求值。首先了解四则运算的规则：
（1） 先乘除，后加减
（2） 从左到右
（3） 先括号内，后括号外
根据以上3条规则，在运算的每一步，任意两个相继出现的算符optr1和optr2之间的优先关系有3种：
>：optr1的优先权高于optr2
=：optr1的优先权等于optr2
<：optr1的优先权低于optr2
下表定义了算符之间的优先级。竖：optr1，横：optr2。
+
-
*
/
(
)
#
+
>
>
<
<
<
>
>
-
>
>
<
<
<
>
>
*
>
>
>
>
<
>
>
/
>
>
>
>
<
>
>
(
<
<
<
<
<
=
)
>
>
>
>
>
>
#
<
<
<
<
<
=
在表达式的两头，分别加个#符号，当##配对时，代表求值完成。
由规则（1），+ - 比* / 的优先权低；由规则（2），当optr1=optr2时，令optr1 > optr2；由规则（3），optr1为+ - * / 时的优先级低于 ( 高于 ) ，当optr1为 ( 时，优先级最低，optr1为 ) 时，优先级最高。
算法实现：使用两个栈，分别存放操作符和操作数。
1）置操作数栈为空，起始符#入运算符栈。
2）依次读入表达式中的每个字符，如是操作数，入操作数栈；如是运算符，和运算符栈顶符号比较优先权。直到表达式求值完毕，即##配对。
[cpp] view plain copy
bool IsOperator(char ch)
{
if (ch == '+' || ch == '-' ||
ch == '*' || ch == '/' ||
ch == '(' || ch == ')' || ch == '#')
return true;
else
return false;
}
//运算符的优先关系
//'+', '-', '*', '/', '(', ')', '#'
char OprRelation[7][7] = {{'>', '>', '<', '<', '<', '>', '>'}, //'+'
{'>', '>', '<', '<', '<', '>', '>'}, //'-'
{'>', '>', '>', '>', '<', '>', '>'}, //'*'
{'>', '>', '>', '>', '<', '>', '>'}, //'/'
{'<', '<', '<', '<', '<', '=', ' '}, //'('
{'>', '>', '>', '>', ' ', '>', '>'}, //')'
{'<', '<', '<', '<', '<', ' ', '='}};//'#'
int ConvertToIndex(char opr)
{
int index;
switch (opr)
{
case '+':
index = 0;
break;
case '-':
index = 1;
break;
case '*':
index = 2;
break;
case '/':
index = 3;
break;
case '(':
index = 4;
break;
case ')':
index = 5;
break;
case '#':
index = 6;
break;
}
return index;
}
char Precede(char opr1, char opr2)
{
int index1 = ConvertToIndex(opr1);
int index2 = ConvertToIndex(opr2);
return OprRelation[index1][index2];
}
int Operate(int opnd1, char op, int opnd2)
{
int ret;
switch(op)
{
case '+':
ret = opnd1 + opnd2;
break;
case '-':
ret = opnd1 - opnd2;
break;
case '*':
ret = opnd1 * opnd2;
break;
case '/':
ret = opnd1 / opnd2;
break;
}
return ret;
}
//算符优先算法
int CaculateExpression(string exp)
{
stack<char> optr; //只处理+ - # / ()运算
stack<int> opnd; //只处理0-9的整数运算
char ch;
int i = 0;
exp += "#";
optr.push('#');
ch = exp[i++];
//如果##配对，表达式求值完成
while (ch != '#' || optr.top() != '#')
{
if (!IsOperator(ch))
{
//操作数入栈
opnd.push(ch - '0');
ch = exp[i++];
}
else
{
//比较栈顶操作符和新取得的操作符的优先关系
switch (Precede(optr.top(), ch))
{
case '<'://栈顶优先权低
optr.push(ch);
ch = exp[i++];
break;
case '='://括号配对，栈顶括号弹出
optr.pop();
ch = exp[i++];
break;
case '>'://栈顶优先权高，先弹出，计算，结果操作数入栈
char op = optr.top();
optr.pop();
int num2 = opnd.top();//第二个操作数在前
opnd.pop();
int num1 = opnd.top();
opnd.pop();
int ret = Operate(num1, op, num2);
opnd.push(ret);
break;
}
}
}//end of while
//操作数栈的唯一元素即为计算结果
return opnd.top();
}
【前缀->后缀表达式】
1）操作符栈为空，结果字符串为空。
2）依次读入中缀表达式的每个字符
-如是操作数，添加到结果字符串
-如是左括号，入操作符栈
-如是右括号，弹出栈内符号，添加到结果字符串，直到遇到栈内的左括号。弹出左括号。
-如是操作符，弹出栈内符号，添加懂啊结果字符串，直到遇到左括号，或优先级较低的操作符，或统一优先级的右结合符号。此操作符入栈
3）如到达字符串末尾，弹出所有栈内符号，添加到结果字符串
[cpp] view plain copy
bool Prior(char optr1, char optr2)
{
bool prior = false;
if (optr1 == '*' || optr1 == '/')
if (optr2 == '+' || optr2 == '-')
prior = true;
return prior;
}
//前缀表达式->后缀表达式
string PrefixToPostFix(string exp)
{
string postRet;
stack<char> optr;
int i = 0;
char ch;
while(i < exp.length())
{
ch = exp[i++];
if (IsOperator(ch))
{
switch(ch)
{
case '(':
optr.push(ch);
break;
case ')':
//将栈中最近的一个左括号之上的操作符全部弹出，添加到结果
while(optr.top() != '(')
{
postRet += optr.top();
optr.pop();
}
optr.pop();//丢弃左括号
break;
case '+':
case '-':
case '*':
case '/':
//弹出操作符，直到栈为空，或遇到左括号，或优先级较低的操作符
//或者统一优先级的右结合操作符
while (!optr.empty() && Prior(optr.top(), ch))
{
postRet += optr.top();
optr.pop();
}
optr.push(ch);
break;
}
}
else
{
postRet += ch;
}
}
//到达字符串末尾，弹出所有操作符，添加到结果
while(!optr.empty())
{
postRet += optr.top();
optr.pop();
}
return postRet;
}
【后缀表达式求值】
1）初始化操作数栈
2）从左到右依次读入后缀表达式的每个字符，如是操作数，入栈；如是操作符，弹出两个操作数，计算，结果入栈，直到表达式末尾。栈中的唯一数即是结果。注意弹出的第一个操作数是位于运算符右边的数。
[cpp] view plain copy
//前缀表达式->后缀表达式，再求值
int CaculateExpression_2(string postExp)
{
//先转换成后缀表达式
string exp = PrefixToPostFix(postExp);
stack<int> opnd;
int i = 0;
char ch;
while(i < exp.length())
{
ch = exp[i++];
if(IsOperator(ch))
{
int num2 = opnd.top();
opnd.pop();
int num1 = opnd.top();
opnd.pop();
//计算结果并入栈
int ret = Operate(num1, ch, num2);
opnd.push(ret);
}
else
{
//操作数入栈
opnd.push(ch - '0');
}
}
return opnd.top();
}
【二叉树法】
可以根据前缀表达式，构造出二叉树，后序遍历即得到后缀表达式。
【手动方法】
(A+B)*C-D/(E+F)
1）按照运算符优先级对所有运算单位加括号。(((A+B)*C）-(D/(E+F)))
2）前缀：把运算符移动到对应的括号前面：-(*(+(AB)C)/(D+(EF)))，再去掉括号：-*+ABC/D+EF
3）后缀：把运算符移动到对应的括号后面：(((AB)+C)*(D(EF)+)/)-，再去掉括号：AB+C*DEF+/-