矩阵的特征向量

Question

如题所述

Answer 1

特征值与特征向量的性质：

任意给定一个矩阵A，并不是对所有的向量B都能被A拉长（缩短）。凡是能被A拉长（缩短）的向量称为A的特征向量（Eigenvector)；拉长（缩短）量就为这个特征向量对应的特征值（Eigenvalue）。

例如，三维空间中的旋转变换的特征向量是沿着旋转轴的一个向量，相应的特征值是1，相应的特征空间包含所有和该轴平行的向量。该特征空间是一个一维空间，因而特征值1的几何重次是1。特征值1是旋转变换的谱中唯一的实特征值。

基本定义如下

假设AAA是方阵（基调：就是特征值和特征方程只试用于方阵），对于一个数λ＼lambdaλ，存在非零列向量α＼alphaα，使得Aα＝λαA\alpha=\lambda\alphaAα＝λα，则称λ＼lambdaλ为方阵的特征值，α＼alphaα称为对应于λ＼lambdaλ的特征向量。

λ＼lambdaλ可以为0，但是特征向量不能为0。

特征向量一定是列向量，而且是非零（参考最初矩阵相乘的七字口诀：中间相等，取两头），在说特征向量的时候，要说对应于特征值的。也就是要先有特征值。

根据定义进行推导：λα−Aα＝0⇒（λE−A)α＝0\lambda\alpha-A\alpha=0\Rightarrow(\lambdaE-A)\alpha=0λα−Aα＝0⇒（λE−A)α＝0，重点来啦，这里的α＼alphaα是非零向量，如果将其换成xxx。

那么就是（λE−A)x=0(\lambdaE-A)x=0(λE−A)x=0，也就变成了求解齐次方程组了，前面的方阵就是方程的系数构成的矩阵，然后知道最终的解是非零的，故最终可以推出方阵的行列式为0。