dx等于dy吗?

Question

如题所述

Answer 1

1. dy的定义如下：设函数f(x)在x0的某个邻域内有定义，当自变量在x0处取得增量Δx时，相应的函数增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)可以表示为Δy=AΔx+o(Δx)，其中A是与x0有关而不依赖于Δx的常数，o(Δx)是比Δx高阶的无穷小量（当Δx→0时）。那么称AΔx为函数y=f(x)在点x0相应于自变量的增量Δx的微分，记为dy，即dy=AΔx。
2. 对上述定义的两边同时除以Δx，得Δy/Δx=A+o(Δx)/Δx。于是当Δx→0时，有lim(Δx→0)Δy/Δx=lim(Δx→0)[A+o(Δx)/Δx]=A，即A=f'(x0)。
3. 代入原式，得到dy=f'(x0)dx。
4. 在“通常把自变量x的增量Δx称为自变量的微分，记为dx"这句话中，显然Δx=dx是人们给出的定义。任何一种定义也不是乱给的，就像你的名字，父母不可能不假思索的随便起一个。
5. 仿照dy的定义，将Δy改写成Δx，就有Δx=AΔx+o(Δx)。
6. 依照dy的定义，则dx=A*Δx。
7. 对第5步的式子两边同时除以Δx，再取极限，得lim(Δx→0)Δx/Δx=lim(Δx→0)[A+o(Δx)]=A。显然lim(Δx→0)Δx/Δx=1，所以A=1。
8. 代入第6步的式子，得dx=Δx。这就是dx=Δx的由来。
以上纯属个人理解，如有误，敬请谅解！