数学问题

Question

已知双曲线x^2-y^2=2的右焦点为F过点F的动直线l与双曲线相交于A，B两点，点C的坐标为(1,0)
1.证明向量CA乘以向量CB为常数
2.若动点M满足向量CM等于向量CA+向量CB+向量CO(O为坐标原点)求点的轨迹方程

Answer 1

解：
（1）设直线l方程为y=k(x-2)
所以x^2-k^2(x-2)^2-2=0
即（k^2-1）x^2-4k^2x+4k^2+2=0
所以x1x2=(4k^2+2)/（k^2-1）
x1+x2=4k^2/（k^2-1）
y1y2=k(x1-2)*k(x2-2)
向量CA乘以向量CB=(1-x1,-y1)*(1-x2,-y2)
=x1x2-(x1+x2)+y1y2+1
=(k^2+1)x1x2-(2k^2+1)(x1+x2)+1+4k^2
=-1
(2)设M（x，y）
所以（x，y）=（x1-1，y1）+（x2-1，y2）+（-1，0）
x=x1-1+x2-1-1=4k^2/（k^2-1）-3 (1)
y=y1+y2=k[4k^2/（k^2-1）]-4k (2)
(1)式代入（2）得
x^2+2x-y^2-3=0

Answer 2