证2/1*4/3*6/5*8/7*.....（2n）/（2n-1）＞√（2n+1）

Question

如题所述

Answer 1

2^2 > 1*3
4^2 > 3*5
......
(2n)^2 ＞ (2n-1)(2n+1)
∴(2*4*6*8*...2n)^2 ＞ 1*3^2*5^2*7^2*...(2n-1)^2*(2n+1)
∴[(2*4*6*8*...2n)/(1*3*5*7*...(2n-1))]^2 ＞ 2n+1
∴2/1*4/3*6/5*8/7*....(2n)/(2n-1) ＞ √(2n+1)
http://zhidao.baidu.com/link?url=jq3MF2v3GRQYASl01l48SMhbwVDUETkDA9UJMVeTvsMBih1E1hsZm8SlZzL2wNJm90M2M9l12N0VeRRThi8A0_

Answer 2

解：利用数学归纳法
（1）当n=1时，不等式左边：2/1=2，不等式右边：√（2+1）=√3，左边＞右边成立；
（2）假设n=k时，2/1*4/3*6/5*......(2k)/(2k-1)＞√(2k+1)成立
（3）那么n=k+1时，不等式左边：2/1*4/3*6/5*......(2k)/(2k-1)*[2(k+1)]/[2(k+1)-1]＞ [√（2k+1）]*[2(k+1)]/[2(k+1)-1];
[√（2k+1）]*[2(k+1)]/[2(k+1)-1]=√[(2k+2)(2k+2)/(2k+1)]
又(2k+2)(2k+2)=4k∧2+8k+4＞4k∧2+8k+3=(2k+1)(2k+3);
所以(2k+2)(2k+2)/(2k+1)＞(2k+3)=2(k+1)+1，有[√（2k+1）]*[2(k+1)]/[2(k+1)-1]>√[2(k+1)+1]成立；
即n=k+1时，不等式成立
得证。