高一数学题 正弦函数、余弦函数的性质

Question

（1）已知函数f(x)=ax^3+bsinx+1,且f(1)=5,求f(-1)的值。
（2）如果函数y=sin2x+acos2x的图像关于直线x= -π/8对称，求a的值

Answer 1

（1）已知函数f(x)=ax^3+bsinx+1,且f(1)=5,求f(-1)的值。

f(x)=ax^3+bsinx+1
令g(x)=f(x)-1
则g(x)=-g(x)
所以
g(x)是奇函数
g(-1)=-g(1)=-[f(1)-1]
=-4
g(-1)=f(-1)-1
所以
f(-1)=g(-1)+1
=-3

2）如果函数y=sin2x+acos2x的图像关于直线x= -π/8对称，求a的值

y=sin2x+acos2x

x=-pai/8是对称轴
则:y(-pi/8)=0或者1,-1
y=sin(-pi/4)+acos(-pi/4)
=根号2/2*a-根号2/2

y=0
a=1
y=1
a=1+根号(2)
y=-1
a=1-根号(2)

综上,a的值是:1,1+/-根号2

Answer 2

(1) 一楼正解
（2）设siny=a/根号（a^2+1）,cosy=1/根号（a^2+1）
f(x)=sin2x+acos2x
=根号（a^2+1）*(sin2x*cosy+cos2x*siny)
=根号（a^2+1）*sin(2x+y)

由于 x=-π/8是对称轴
即是 sin(2x+y)=sin(y-π/4)=（+/-）1
跟号2/2【a/根号（a^2+1）】-跟号2/2【1/根号（a^2+1）】=（+/-）1

解得 a=（+/-根号2）-1