求幂级数$ x$的$ n$次方幂级数的收敛域？

Question

如题所述

Answer 1

首先，我们需要明确一下收敛域是什么意思。在这里，收敛域指的是在哪些取值范围内，幂级数（即$x$的$n$次方）可以收敛。

幂级数是一种特殊的无穷级数，形如：

$$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$$

其中，$a_n$是一个常数系数，$x$是一个自变量。同时，我们可以知道：

$$x^n = e^{n\ln x}$$

因此，求$x$的$n$次方幂级数的收敛域，就可以转化为求$e^{n\ln x}$的收敛域。

接下来，我们分两种情况讨论：

当$x=0$时，显然幂级数只有一项$a_0$，因此收敛域为$\{0\}$。

当$x\neq0$时，我们可以对$e^{n\ln x}$进行分类讨论：

（1）当$x > 1$时，$\ln x > 0$，因此$n\ln x$是无穷大的，$e^{n\ln x}$一定发散，因此收敛域为$(-\infty,0]\cup[1,\infty)$。

（2）当$x < 1$时，$\ln x < 0$，同上，$e^{n\ln x}$一定发散，因此收敛域为$(-\infty,-1)\cup(0,1)$。

（3）当$x = 1$时，$e^{n\ln x} = e^0 = 1$，幂级数必收敛，因此收敛域为$x=1$。

综上所述，$x$的$n$次方幂级数的收敛域为$(-1,1]$。