如何求多元函数的极值？

Question

如题所述

Answer 1

简单分析一下，详情如图所示

Answer 2

直接法

先判断函数的单调性，若函数在定义域内为单调函数，则最大值为极大值，最小值为极小值

2.导数法

（1）、求导数f'(x)；

（2）、求方程f'(x)=0的根；

（3）、检查f'(x)在方程的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正那么f(x)在这个根处取得极小值。

特别注意

f'(x)无意义的点也要讨论。即可先求出f'(x)=0的根和f'(x)无意义的点，这些点都称为可疑点，再用定义去判断。

二阶连续偏导数的函数z = f(x,y)的极值的求法叙述如下：

（1）解方程组fx(x,y) = 0，fy(x,y) = 0，求得一切实数解，即可求得一切驻点；

（2）对于每一个驻点(x0,y0)，求出二阶偏导数的值A、B和C；

（3）定出AC-B2的符号，按定理2的结论判定f(x0,y0)是否是极值、是极大值还是极小值。

上面介绍的极值必要条件和充分条件都是对函数在极值点可导的情形才有效的。当函数仅在区域D内的某些孤立点(xi, yi)不可导时，这些点当然不是函数的驻点，但这种点有可能是函数的极值点，要注意另行讨论