计算曲线 xy-2^x+2^y=0 在 x=0 处的切线方程和法线方程？

Question

如题所述

Answer 1

【计算答案】切线方程：y=x；法线方程：y=-x

【计算思路】根据平面解析几何，切线方程的斜率k1和法线方程的斜率k2，存在着下列关系：

而k1是曲线 xy-2^x+2^y=0的切线方程的斜率，所以我们可以通过对其【0，0】处导数值，即效率k1。然后，用点斜式直线方程求出切线方程和法线方程。

【计算过程】

1、求隐函数 xy-2^x+2^y=0的导数

对方程两边求导数，有

y+xy'-2^xln2+2^yln2y'=0

y'(x+2^yln2)=2^xln2-y

y'=(2^xln2-y)/(x+2^yln2)

2、求曲线 xy-2^x+2^y=0的切线方程的斜率k1

当x=0，y=0时，k1=y'|(x=0,y=0)=1

3、求曲线 xy-2^x+2^y=0的法线方程的斜率k2

k2=-1/k1=-1

4、求曲线 xy-2^x+2^y=0的切线方程

根据点斜式直线方程，有

y=x

5、求曲线 xy-2^x+2^y=0的法线方程

根据点斜式直线方程，有

y=-x

【图形】