八年级分式奥数题

Question

a*b*c不=0，a方+b方+c方=1,a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)=-3.求a+b+c的值，急。。。在线=
答案我知道，是-1，1和0，要过程

Answer 1

a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)+3=0
（a+c)/b + (b+c)/a + (a+b)/c +3=0
(1-b)/b + (1-a)/a + (1-c)/c +3=0
1/b -1 + 1/a -1 + 1/c -1+3=0
1/b + 1/c + 1/a=0
(ac+ab+bc)/abc=0
∵a≠0 b≠0 c≠0
∴abc≠0
∴ac+ab+bc=0
第一种情况:
∴a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(1-c)^2-2ab=1-2c+c^2-2ab
同理:
b^2+c^2=1-2a+a^2-2bc
c^2+a^2=1-2b+b^2-2ac
把上面三式左右相加
2a^2+2b^2+2c^2=3-2(a+b+c)+a^2+b^2+c^2-2(ac+ab+bc)
2(a^2+b^2+c^2)=3-2(a+b+c)+(a^2+b^2+c^2)-2(ac+ab+bc)
∵a^2+b^2+c^2=0,ac+ab+bc=0
∴2=3-2(a+b+c)+1-0
2(a+b+c)=2
a+b+c=1
第二种情况:
(A+B+C)方=A方+B方+C方+2(AB+BC+AC)=1
A+B+C=1或-1

综上得A+B+C=-1,或0,或1

Answer 2

a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)+3=0
（a+c)/b + (b+c)/a + (a+b)/c +3=0
(1-b)/b + (1-a)/a + (1-c)/c +3=0
1/b -1 + 1/a -1 + 1/c -1+3=0
1/b + 1/c + 1/a=0
(ac+ab+bc)/abc=0
∵a≠0 b≠0 c≠0
∴abc≠0
∴ac+ab+bc=0
∴a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(1-c)^2-2ab=1-2c+c^2-2ab
这是这道题的答案：同理:
b^2+c^2=1-2a+a^2-2bc
c^2+a^2=1-2b+b^2-2ac
三个式子左右相加
2a^2+2b^2+2c^2=3-2(a+b+c)+a^2+b^2+c^2-2(ac+ab+bc)
2(a^2+b^2+c^2)=3-2(a+b+c)+(a^2+b^2+c^2)-2(ac+ab+bc)
∵a^2+b^2+c^2=0,ac+ab+bc=0
∴2=3-2(a+b+c)+1-0
2(a+b+c)=2
a+b+c=1
这好难啊，不过不知道有没有错～

Answer 3

a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)+3=0
（a+c)/b + (b+c)/a + (a+b)/c +3=0
(1-b)/b + (1-a)/a + (1-c)/c +3=0
1/b -1 + 1/a -1 + 1/c -1+3=0
1/b + 1/c + 1/a=0
(ac+ab+bc)/abc=0
∵a≠0 b≠0 c≠0
∴abc≠0
∴ac+ab+bc=0
∴a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(1-c)^2-2ab=1-2c+c^2-2ab
同理:
b^2+c^2=1-2a+a^2-2bc
c^2+a^2=1-2b+b^2-2ac
把上面三式左右相加
2a^2+2b^2+2c^2=3-2(a+b+c)+a^2+b^2+c^2-2(ac+ab+bc)
2(a^2+b^2+c^2)=3-2(a+b+c)+(a^2+b^2+c^2)-2(ac+ab+bc)
∵a^2+b^2+c^2=0,ac+ab+bc=0
∴2=3-2(a+b+c)+1-0
2(a+b+c)=2
a+b+c=1

Answer 4

a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)+3=0
（a+c)/b + (b+c)/a + (a+b)/c +3=0
(1-b)/b + (1-a)/a + (1-c)/c +3=0
1/b -1 + 1/a -1 + 1/c -1+3=0
1/b + 1/c + 1/a=0
(ac+ab+bc)/abc=0
∵a≠0 b≠0 c≠0
∴abc≠0
∴ac+ab+bc=0
∴a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(1-c)^2-2ab=1-2c+c^2-2ab
这是这道题的答案：同理:
b^2+c^2=1-2a+a^2-2bc
c^2+a^2=1-2b+b^2-2ac
把上面三式左右相加
2a^2+2b^2+2c^2=3-2(a+b+c)+a^2+b^2+c^2-2(ac+ab+bc)
2(a^2+b^2+c^2)=3-2(a+b+c)+(a^2+b^2+c^2)-2(ac+ab+bc)
∵a^2+b^2+c^2=0,ac+ab+bc=0
∴2=3-2(a+b+c)+1-0
2(a+b+c)=2
a+b+c=1