已知f(x)=(1+x+x2)4(1-x)9(1)求f(x)的展开式中x3项的系...

Question

已知f(x)=(1+x+x2)4(1-x)9 (1)求f(x)的展开式中x3项的系数; (2)设f(x)=a0+a1x+a2x2+…+a17x17，求a2+a4+6+…+a16的值.

Answer 1

解答:解:(1)∵1-x3=(1-x)•(1+x+x2)，
∴f(x)=(1+x+x2)4(1-x)9
=(1-x3)4•(1-x)5，
∴f(x)的展开式中x3项的系数为14•
C
3
5
(-1)3+
C
1
4
•(-1)1•15=-14;
(2)∵f(x)=(1+x+x2)4(1-x)9=a0+a1x+a2x2+…+a17x17，
∴f(1)=a0+a1+a2+…+a17=0;①
f(-1)=a0-a1+a2-a3+…-a17=29;②
∴f(1)+f(-1)=2(a0+a2+a4+6+…+a16)=29，
∴a0+a2+a4+6+…+a16=28.
又f(0)=a0+0=1，故a0=1，
∴a2+a4+6+…+a16=256-1=255.