匀质圆盘质量是m,半径是R,可饶通过边缘O点且垂直于盘面的水平轴转动

Question

匀质圆盘质量是m,半径是R,可饶通过边缘O点且垂直于盘面的水平轴转动,设圆盘从最高位置无初速的开始饶O转动,试求当盘中心C和轴0的连线经过水平位置的瞬时,轴O的总反力大小!

Answer 1

设:当盘中心C和轴0的连线经过水平位置的瞬时,圆盘挠轴O转动的角速度为W
则：总向心力=∫∫(m/(πR^2))(w^2)(R-r*cosα)*rdrdα 的定积分，其中r从0到R, 而α从0到2π
=∫((2mw^2)/R)*rdr
=(mw^2)R

圆盘动能=∫∫(1/2)(m/(πR^2))(w^2)(r^2+R^2-2rRcosα)rdrdα 的定积分，其中r从0到R, 而α从0到2π
=∫(mw^2/(R^2))(r^2+R^2)rdr
=(3/4)m(w^2)(R^2)

而根据能量守恒，圆盘动能=mgR
所以: (3/4)m(w^2)(R^2)=mgR
(mw^2)R=(4/3)mg

轴O的总反力=总向心力=(mw^2)R=(4/3)mg