关于函数的可导性及左右导数问题 详细回答!

Question

1.函数是不是连续,光滑就可导?
2.什么时候要判断函数是否可导?
3.如何求函数的左右导数(定义法).请举个例子,求出左右导数(详细些,谢谢!)

Answer 1

先推荐读一本书同济大学出版的《微积分》（非推销）

1问：函数连续是可导的必要条件。但可导函数不一定连续。我只举一个例子：比如函数f(x)=|1/x|在0处就可导。因为对于y轴左侧的图像x=0处的导数就为‘无穷大’，而y轴右边也如此。（其他的例子暂时想不出)

2问：这不一定的，到后面如果你学了函数的单调和凹凸性，求导会比较有用。

3问：比如求幂函数f(x)=x^u的导数
f(x+Δx)-f(x) (x+Δx)^u-x^u (1+Δx/x)^u-x^u
f'(x)= lim-------------=lim--------------=lim x^u--------------
x→0 Δx x→0 Δx x→0 Δx
因为当x→0时，△x/x趋近于0，这时（1+△x/x)^u-1＝u△x/x
最后化简求出导数，即有（x^u）'=u*x^(u-1)

Answer 2

①有【两个】定理【分别】告诉我们：
a，函数可导一定连续。
b，可导的充要条件是左右【导数】存在且相等。
②函数在x点处左右导数相等，
是指，导数定义式中的那个增量比【◇y/◇x】它【的左右极限】相等，
是lim◇y/◇x★
并不是指函数y=f(x)的极限limy☆
③正确的说法是，如果函数在某点无定义，
但是limy存在，就称该点为第一类间断点的可去间断点。
明白了以上几点之后，则知道，
a之左右导数存在且相等=>函数连续与b并不矛盾。
需理清以下几件事：
a陈述的是可导与连续之间的关系。
b陈述的是可导的充要条件。
【第一类间断点说的是有关连续的事，是针对极限☆之左右而言的。】
【可导充要条件中的左右导数是针对极限★之左右而言的。】
总之，导数与连续是用极限★与☆分别定义的，不是同样的极限式。

Answer 3

1,不是，例如Y=X的绝对值，在X=0处不可导
2.求函数极限，高阶导函数，函数极限求出来后验证。。。情况很多的。
3 我举个例子 设（X大于等于0）时F(X)=1-COSX
X小于0时，F(X)=X。就是个分段函数。
F(X)左导数=LIM（1-COS△X）\△X=O
F(X)右导数=LIM1=1.因为左右导数不同，所以在X=0处不可导。这也是第一小问的反例