线性反馈移位寄存器🛅

Question

如题所述

Answer 1

线性反馈移位寄存器(LFSR)是一种用于生成伪随机码的数学工具。由多个二进制数存储的寄存器排列而成，每次移位后输出最右端数字，并填充反馈函数的结果到最左端。反馈函数通过异或操作，选择性地使用寄存器位作为输入。LFSR的级数决定了其状态和周期的上限。通过反馈函数，LFSR产生周期为2^n-1的序列，其中n为寄存器的个数。该序列具有均衡性、游程分布和良好的自相关性，使得在通信、密码学和数字信号处理中得到广泛应用。

具体而言，LFSR的反馈函数将寄存器中某些位的异或结果作为新的左端填充值。由LFSR的级数n和反馈函数可得其递推关系式，进而可以表示为特征多项式。本原多项式是LFSR能够生成长度为2^n-1序列的必要条件。在有限域F_2中，不可约多项式和本原多项式是生成LFSR反馈函数的关键概念。对于n级LFSR，其特征多项式为本原多项式时，可以确保生成的序列具有最佳性质。

LFSR生成的序列具有均衡性，即序列中的0和1基本等量，1的数量比0多一个。序列的自相关性显著，存在主峰之外的平坦特性，这与完全随机序列有显著区别。此外，LFSR序列具有游程分布特性，其中长度为1的游程占总游程数的一半，而长度为2的游程占总游程数的1/4，以此类推。长度为k的游程占总游程数的比例为1/2^k，且长度为k的游程中，连0和连1的游程数各占一半，表现出很好的均衡性。

LFSR序列在通信、密码学和数字信号处理领域中广泛应用，由于其生成的伪随机码具有良好的性质，如均衡性、游程分布和自相关性，使得LFSR在扩频通信、密钥生成和伪随机信号产生等方面发挥重要作用。LFSR不仅在理论上有重要研究价值，在实际应用中也展示了广泛的应用前景。