三角矩阵A的逆是怎么求的？

Question

如题所述

Answer 1

要求A的逆，只要解方程AX=I就行了。

直接把AX=I展开出来看一下就知道如果A是上三角阵那么X必定也是上三角阵（简单一点可以用归纳法）。

直接利用逆矩阵的定义即可。证明如下：

扩展资料：

三角矩阵是方形矩阵的一种，因其非零系数的排列呈三角形状而得名。三角矩阵分上三角矩阵和下三角矩阵两种。上三角矩阵的对角线左下方的系数全部为零，下三角矩阵的对角线右上方的系数全部为零。三角矩阵可以看做是一般方阵的一种简化情形。

以主对角线划分，三角矩阵有上三角矩阵和下三角矩阵两种。

①上三角矩阵

如图所示，它的主对角线以下(不包括主对角线)的元素均为常数0。

②下三角矩阵

与上三角矩阵相反，它的主对角线上方均为常数0。

由于带三角矩阵的矩阵方程容易求解，在解多元线性方程组时，总是将其系数矩阵通过初等变换化为三角矩阵来求解；又如三角矩阵的行列式就是其对角线上元素的乘积，很容易计算。有鉴于此，在数值分析等分支中三角矩阵十分重要。一个所有顺序主子式不为零的可逆矩阵A可以通过LU分解变成一个下三角矩阵L与一个上三角矩阵U的乘积。

两种证法

方法1：

若T是上三角矩阵，求解线性方程组TS=I，从右下角开始向前求解，可以按分块形式来写

S(n,n)=1/T(n,n)

S(n,1:n-1)=0

S(1:n-1,n)=-T(1:n-1,1:n-1)^{-1}T(1:n-1,n)S(n,n)   ——这块不重要

S(1:n-1,1:n-1)=T(1:n-1,1:n-1)^{-1}     ——这个地方用归纳法

归纳一下即可。

方法2：

利用ST=TS=I，忽略等于I的条件，直接可以证明和T可交换的矩阵必定是上三角阵。利用线性性只需要考察i>j时T和E_{i,j}(表示i行j列为1，其余位置为0的矩阵)不可交换。