正三角形时面积最大
《周长固定三角形面积的最大值》
——数学建模一例
谈到，周长固定围成面积的问题，许多人会想到正方形和二次函数。好吧，就从矩形开始吧！问题是这样的，说有一根长度固定为L的绳子，现在要围成一个矩形，问：什么样的矩形面积才是最大的？
首先，我们要建立数学模型！那么什么是矩形呢？它有些什么性质呢？初等几何说：有一个角位直角（90°或者π/2）的平行四边形，叫做矩形。那么什么是平行四边形呢？它有些什么性质呢？几何又说：两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。其中，平行四边形有一条重要的性质：平行四边形的对边相等。
现在我们对矩形也有一个印象了。简单来说是一个，四条互相垂直的线段组成的东西。而且我们知道它的面积公式：s=a*b，由平行四边形的性质：平行四边形的对边相等。可知它的周长公式：L=2*(a + b）。
有了这些，就可以建模分析了：首先，我们分析L=2*(a + b），经过简单的变形处理（+、-、*、/）有：b=L/2-a 要注意条件，a是不为0的，即（a>0）。现在，把b=L/2-a 代入s=a*b就有：s=a*( L/2-a)= -a^2+ (L/2) *a （a>0）；这是关于a的一个二次函数，并且A=-1<0，函数s有最大值。
微积分的解法：因为：s= -a^2+ (L/2) *a （a>0），所以s`=-2a+L/2 （a>0）令s`=0有：2a= L/2所以a= L/4。
所以Smax = L/4(L/2- L/4)= L^2/16 max：最大值 b=a= L/4 （此时，矩形为正方形）
也可以用不等式：因为 (a - b)^2≥0，又因（a - b)^2=(a + b)^2-4ab，所以有：（a + b)^2-4ab≥0 即a*b≤（a + b)^2/4 当a=b，去“=”，s有最大值
因为：a + b= L/2，s=a*b 所以：s≤（L/2）^2/4= L^2/16。
现在，来谈一谈周长固定三角形面积的问题，说有一根长度固定为L的绳子，现在要围成一个三角形，问：什么样的三角形面积才是最大的？
好像，一般三角形的性质并不多，一个三边关系定理：三角形两边之和大于第三边。和一个内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。还有个推论：三角形两边之差小于第三边。
不妨设绳子L，围成的三角形一边为x，则另外两边之和为L-x。根据三边关系定理有：x<L-x，于是有：（0<x<L/2) 物理学中在处理问题时，不是常用控制变量法吗！我们何不使用呢？假设x为一个常量，则L-x 也为常量。且x<L-x 总成立，满足解析几何中椭圆的定义：2a= L-x， 2c=x，且有：2a>2c。可以，以2c=x的中点建立坐标系，则：a^2= (L-x/2)^2 ，b^2= (L-x/2)^2-(x/2)^2=L(L-2x)/。
三角形与椭圆所以椭圆方程为：X^2/(L-x/2)^2 +Y^2/ L(L+2x)/4=1 函数图像的直观反映，三角形的面积为：s=(1/2)*( 2c)*Y ，因为，x=2c是固定的，所以s取决于Y，当Y取max时，即Y=b时，s有最大值。
即：S=s(x)max （且此时，该三角形为等要三角形）
=c*[(L^2-2Lx)/4]^1/2
=(1/4)*x(L^2-2Lx)^1/2(0<x<L/2)
现在，我们得到了一个关于s最大值的函数，或者说以最大值s为自变量的函数S=s(x），可以说我们的目标是，函数最大值的最大值！Smax=max[s(x)max]，剩下的就是微积分的技巧了，对S=s(x)max，求导：S`= -LX/(L^2-2Lx)^1/2 +(L^2-2Lx)^1/2令S`=0 有：LX/(L^2-2Lx)^1/2 =(L^2-2Lx)^1/2 ，则LX= L^2-2Lx 解之得：x=L/3，且有，x=L/3<L/2 满足三角形条件。
此时的三角形是一个正三角形！Smax=max[s(x)max]=(3^1/2)*L^2/36，此模型的思想有点类似变分法，函数的函数（泛函），但还是有本质的差别。
也可以用海伦公式s=[p(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2，其中p=(a+b+c)/2。用不等式来解决！或者用二元函数的偏导及拉格朗日乘法，来解解决也行。
不要以为，海伦公式s=[p(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2 比微积分简单一些，前提是你必须知道这个公式，而且能够证明！我就给大家一个证明，这是我在分解因式中，遇到较麻烦的一次！
要证明海伦公式s=[p(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2，首先，要知道余弦定理：
勾股定理的扩展——余弦定理a^2=b^2+c^2-2bccosA，
则有：cosA=（ b^2+c^2- a^2）/2bc
所以，sinA={1-[（ b^2+c^2- a^2）/2bc]^2}^1/2
={[( a^2+b^2+c^2)^2 – 2( a^4+b^4+c^4)]/(2bc)^2}^1/2
又因为，三角形面积公式：
s=(1/2)*bcsinA
=(1/2)*bc*{[( a^2+b^2+c^2)^2 – 2( a^4+b^4+c^4)]/(2bc)^2}^1/2
=(1/4)* [( a^2+b^2+c^2)^2 – 2( a^4+b^4+c^4)] ^1/2（与角度A并无直接关系）
又 ∵ [( a^2+b^2+c^2)^2 – 2( a^4+b^4+c^4)
=2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2- a^4-b^4-c^4
=b^2c^2+a^2c^2-b^4-a^4+2a^b^2+ a^2c^2+ b^2c^2- c^4
= b^2c^2-2abc^2+a^2c^2-(b^4+a^4-2a^b^2)+ a^2c^2+ b^2c^2+2abc^2- c^4 （配方）
=c^2(b^2-2ab+a^2)-(b^2-a^2)+ c^2(b^2+2ab+a^2)-c^4
= c^2(b-a)^2-[(b+a)(b-a)]^2+ c^2(b+a)^2-c^4
= c^2(b-a)^2-c^4-(b+a)^2(b-a)^2+ c^2(b+a)^2（分解因式）
= c^2[(b-a)^2-c^2]-(b+a)^2[(b-a)^2-c^2]
= [(b-a)^2-c^2]*[c^2-(b+a)^2] （提公因式）
=-[(b-a)^2-c^2]*[(b+a)^2-c^2]
=[(b+a)^2-c^2]*(-1)* [(b-a)^2-c^2]
=[(b+a)^2-c^2]*(-1)(b-a+c)*(b-a-c)
=[(b+a)^2-c^2]*(b-a+c)*(a+c-b)
=(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)
∴ s=(1/4)[ (a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)]^1/2
=[(a+b+c)/2 *(a+b-c)/2 * (b+c-a)/2* (a+c-b)/2]^1/2
={[(a+b+c)/2 ]*[(a+b+c)/2- c]*[ (b+c+a)/2 –b]*[ (a+c+b)/2-a] }^1/2
再令：p=(a+b+c)/2
就得到海伦公式：s=[p(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2
有了此公式，在利用不等式，问题就可以解决了。
需要知道的一个不等式：（a+b+c)^3 /27≥abc (a，b，c均为正数，当a=b=c时，取“=”）
∵ (p-a)*(p-b)*(p-c）≤[3p-(a+b+c)]^3 /27，又∵2p=a+b+c；
∴ (p-a)*(p-b)*(p-c）≤p3 /27
则有：[(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2≤p(p)^1/2 /3(3)^1/2
所以：p^1/2[(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2≤p2 /3(3)^1/2
即：s≤（3^1/2 /36) p2，当p-a=p-b=p-c，即，a=b=c时，取“=”s有最大值（3^1/2 /36) L^2
参考 :
http://baike.baidu.com/view/5670.htm