证明tanx=1-x在（0,1）内有唯一实根。 求大神解答

Question

如题所述

Answer 1

证明：
构造函数 f(x)=tanx-(1-x)
则 f(0)=tan0-(1-0)=-1<0
f(1)=tan1-(1-1)=tan1>0
且 y=tanx, y=x-1在（0,1）上都是增函数
∴ f(x)=tanx-(1-x)在（0,1）上也是增函数。
结合 f(0)<0,f(1)<0
∴ f(x)=tanx-(1-x)在（0,1）上只有一个零点
即 tanx=1-x在（0,1）内有唯一实根。追问

过程是不是有点笔误？麻烦能从新写一遍吗？

追答

没有笔误啊, 稍微改改吧，看着能好些

证明：
构造函数 f(x)=tanx-(1-x)=tan+x-1
则 f(0)=tan0+(0-1)=-10
且 y=tanx, y=x-1在（0,1）上都是增函数
∴ f(x)=tanx+x-1在（0,1）上也是增函数。
结合 f(0)<0,f(1)<0
∴ f(x)=tanx+x-1在（0,1）上只有一个零点
即 tanx=1-x在（0,1）内有唯一实根。

追问

f(1)>0,应该是这样吧！

追答

我晕，抱歉。刚才没看出来。

Answer 2

作图解答。在（0,1）内做出tanx和x-1的图，两图只有一个交点。或求导。设f（x）=tanx+x-1，则导数=1/（1+x*x）+1。导数大于0，f（x）递增，f（0）<0,f(1)>1。所以只有一点使f=0追问

这个要用代数的方法解答

Answer 3

y=tanx在(0,1)范围上，为单调增函数；
y=-x+1在(0,1)范围上，为单调减函数，所以二者有且只有一个交点，故只有一个实根。

Answer 4

等式放一边，看成一函数y，把y导一下，大于或小于零，证单调， 01两点带入函数是异号，就可以了