高一数学

Question

在公比为整数的等比数列An中，若a1+a4=18，a2+a3=12，那么该数列前8项之和为____

Answer 1

解：由题意知：
a₁+a4=a₁+a₁.q³=a₁(1+q³)=18 ①
a₂+a₃=a₁q+a₁q²=a₁q(1+q)=12 ②
①/②得：(1+q³)/q(1+q)=3/2 [批注：立方和公式(1+q³)=(1+q)(1+q²-q)]

（1+q²-q）/q=3/2,从而3q=2(1+q²-q)
整理得：2q²-5q+2=(2q-1)(q-2)=0
∴q=1/2或q=2

由于等比数列各项均为整数，所以q=1/2舍去
将q=2代入②得：a₁=2,则
S8=a₁(1-q^8)/(1-q)=2×(1-2^8)/(1-2)=510

Answer 2

【分析】
①利用基本量q，a1表示数列中的项，而在建立关于q，a1的方程时，常利用两式相除解方程，等比数列的前n项和公式；
②由a1+a4=18，a2+a3=12可先用首项a1及公比q表示可得，a1(1+q³)=18，a1q(1+q)=12，联立方程可求a1、q，然后代入等比数列的前n和公式可求答案。
【解答】
解：
设等比数列的首项为a1，公比为q
∵a1+a4=18，a2+a3=12
∴有方程组：
a1(1+q³)=18
a1q(1+q)=12
两式相除可得：
2q²-5q+2=0
由公比 q为整数可得：
q=2，a1=2
代入等比数列的和公式可得：
S8=2(1-2^8)/(1-2)=510
因此该数列前8项之和为510。追问

a1(1+q³)=18
a1q(1+q)=12
相除是怎么得到2q²-5q+2=0的？

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Answer 3

a1=2,q=2，按公式可以计算得510