什么是初等矩阵？

Question

如题所述

Answer 1

初等矩阵是指一个方阵，它是通过对单位矩阵进行一次基本行变换（或列变换）得到的。基本行变换包括交换两行、某一行乘以非零常数、某一行加上另一行的若干倍；同理，基本列变换包括交换两列、某一列乘以非零常数、某一列加上另一列的若干倍。
初等矩阵具有以下特征和性质：
1. 行等价性：两个矩阵A和B是行等价的，如果可以通过一系列的初等行变换将A变为B。由于初等矩阵可以表示基本行变换，所以初等矩阵是保持行等价性的关键。
2. 可逆性：每个初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵也是一个初等矩阵。这是因为初等行变换具有逆运算。
3. 矩阵乘法的性质：设A是m×n的矩阵，E是一个可逆的n×n的初等矩阵，则E*A等于将A的每一行左乘E得到的新的矩阵。
4. 行列式的性质：对于n阶方阵，设E是一个可逆的n×n的初等矩阵，则det(E)等于1。
初等矩阵在线性代数和矩阵理论中具有重要的应用。它们可以用于求解线性方程组、求逆矩阵、求行列式等。通过初等矩阵的运算，可以方便地对矩阵进行简化和求解。