向量的有关计算法则

Question

如题所述

Answer 1

向量的加法遵循平行四边形法则和三角形法则，表示为OB+OA=OC。若向量a和b相加，结果为a+b=(x+x'，y+y')。特别地，a+0=0+a=a。向量加法满足交换律和结合律，即a+b=b+a和(a+b)+c=a+(b+c)。

向量的减法可以通过共同起点指向被减向量的方式进行，表示为AB-AC=CB。若向量a和b互为相反数，则a=-b，b=-a，a+b=0。对于实数λ和向量a，乘积λa是一个向量，且|λa|=|λ|·|a|。当λ>0时，λa与a同方向；当λ<0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。若a=0，则对于任意实数λ，都有λa=0。

向量的数量积定义为a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉，若a、b不共线，则a·b=x·x'+y·y'。向量的数量积具有交换律、分配律等性质，如a·b=b·a和(a+b)·c=a·c+b·c。数量积的模满足|a·b|≤|a|·|b|。向量的数量积与实数运算不同，不满足结合律和消去律。

向量的向量积是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则|a×b|=|a|·|b|·sin〈a，b〉，方向垂直于a和b，且构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。向量积的性质包括平行四边形面积、a×a=0和a垂直b时a×b=|a||b|。

三向量的混合积定义为(a×b)·c，其性质包括平行六面体体积、共面条件和对称性，如(abc)=εV（ε=1或-1）。混合积的计算方法和性质揭示了向量运算的深度和复杂性，提供了解决几何和物理问题的强大工具。