已知f(x)是定义在R上的偶函数,并满足f(x+2)=-1/f(x)，当2<=x<=3时,f(x)=x, 求f(5.5)

Question

如题所述

Answer 1

已知f(x)是定义在R上的偶函数,并满足f(x+2)=-1/f(x)，当2<=x<=3时,f(x)=x, 求f(5.5)
解析：∵f(x)是定义在R上的偶函数,并满足f(x+2)=-1/f(x)
∴f(-x)=f(x)
令x=x+2
代入f(x+2)=-1/f(x)==>f(x+4)=-1/f(x+2)=f(x)
∴函数f(x)是以4为最小正周期的周期函数
∵若函数y=f(x)图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是其一个周期。
∴2|0-b|=4==>b=2，即函数f(x)也关于直线x=2对称
∴满足f(x)=f(2*2-x)
∵当2<=x<=3时,f(x)=x
∴当1<=x<=2时,f(x)=f(4-x)=4-x
∴f(5.5)=f(1.5+4)=f(1.5)=4-1.5=2.5

Answer 2

f(5.5)=f(3.5+2)=-1/f(3.5)=-1/f(1.5+2)=-1/(-1/f(1.5))=-1/(-1/1.5)=3/2