不定积分

Question

已知∫xf(x^2)dx=xe^x+c,则f(x)=__。
求解过程中令x^2=t时要考虑x=±根号t吗?请把过程写详细完整,非常感谢！

Answer 1

∫ xƒ(x²) dx = xe^x + C，先两边求导消除C
xƒ(x²) = xe^x + e^x = (x + 1)e^x
ƒ(x²) = (x + 1)/x * e^x，令x² = t，则x = ± √t

ƒ(t) = (1 + √t)/√t * e^√t 或 (1 - √t)/(- √t) * e^(- √t)
第一个结果很明显符合原式，现在说说第二个结果：
若ƒ(x) = (√x - 1)/√x * e^(- √x)
则ƒ(x²) = (x - 1)/x * e^(- x)
∫ xƒ(x²) dx = ∫ (x - 1)e^(- x) dx = - xe^(- x) + C'，明显不等于xe^x + C
所以只有第一个结果才符合。追问

∫xf(x^2)dx
=1/2∫f(x^2)dx^2
=xe^x+C
f(x^2)=2（x*e^x)'+c=2e^x+2xe^x+c
f(x)=2e^√x+2√xe^√x,为什么这样写不对呢？

追答

(1/2)∫ ƒ(x²) d(x²) = xe^x + C
两边的自变量都不同，左边的是x²，右边的是x
如果求导的话只能是
∫ xƒ(x) dx = xe^x + C --> xƒ(x) = (xe^x + C)'
或 ∫ ƒ(x) dx = xe^x + C --> ƒ(x) = (xe^x + C)'
对于(1/2)∫ ƒ(x²) d(x²)，换元u = x²，du = d(x²)
= (1/2)∫ ƒ(u) du = √ue^√u + C，等式两边都要换元，尼玛都烦死了
= ∫ ƒ(u) du = 2√ue^√u + 2C
ƒ(u) = (2√ue^√u)' = (1 + √u)/√u * e^√u
ƒ(x) = (1 + √x)/√x * e^√x

追问

∫ xƒ(x²) dx = xe^x + C，先两边求导消除C
xƒ(x²) = xe^x + e^x = (x + 1)e^x
那你这怎么可以直接求导的，左边有f(x^2),右边都是x

追答

我那个是对x求导，是dx而不是d(x²)
先对x求导后两边再除x
而你那个是直接把(x)ƒ(x²)里的(x)给吃掉了
用你那个方法首先要将右边的自变量变为x²，xe^x + C = √x²e^√x² + C
所以(1/2)∫ ƒ(x²) d(x²) = √x²e^√x² + C等价(1/2)∫ ƒ(u) du = √ue^√u + C

Answer 2

∫xf(x^2)dx

=1/2∫f(x^2)dx^2
=1/2F(x^2)+C
=xe^x+C
F(x^2)=2xe^x
F(x)=2√x*e^(√x)
f(x)=F'(x)=e^(√x)/√x+2√x*e^(√x)*(√x)'
=e^(√x)/√x+e^(√x)
或者直接对两边求导得
xf(x^2)=(xe^x)'

xf(x^2)=e^x+xe^x
f(x^2)=e^x/x+e^x
然后x=√x代入就可以了追问

您好！为什么x直接就=

追答

因为已经有了f(x)的函数形式了，所以可以直接代入

追问

您好！方程xy'lnx y=x(lnx 1）的通解为__。求解过程中要考虑lnx的正负吗即lnx要不要加绝对值，为什么？请把过程写详细完整.非常感谢！

追答

不需要加绝对值

追问

wr

追答

？？？？

追问

为什么？您可以把过程解一下.

追答

说实在的，你没发现你题目没有运算符号吗？

追问

什么意思啊？不是有等号吗？
∫xf(x^2)dx
=1/2∫f(x^2)dx^2
=xe^x+C
f(x^2)=2（x*e^x)'+c=2e^x+2xe^x+c
f(x)=2e^√x+2√xe^√x,为什么这样写不对呢？