急，高中数学题目，答案清晰加悬赏

Question

已知三角形ABC的顶点A、B在椭圆x²+3y²=4上，点C在直线l:y=x+2上，且AB//l.
(1)当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及三角形ABC的面积;
(2)当角ABC=90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程。

Answer 1

1.设AB所在直线的方程为y=x
与x²+3y²=4联立得
x²-1=0
设A、B两点坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）
AB=√(1+k^2)[(x1+x2)^2-4x1x2]
AB=2√2
又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离，所以h=|0-2|/√2=√2
S△ABC=1/2 |AB|•h=2
2.设AB所在直线的方程为y=x+m
与x²+3y²=4联立得
4x²+6mx+3m²-4=0
x1+x2=-3m/2
x1x2=（3m²-4）/4
所以|AB|=√2|x1-x2|=√（32-6m²)/2
因为BC的长等于点（0，m）到直线l的距离，即|BC|=|2-m|/√2
所以|AC|²=|AB|²+|BC|²=-m²-2m+10=-（m+1）²+11
所以当m=-1时，AC边最长，（这时△=-12+64＞0）
此时AB所在直线的方程为y=x-1

望采纳。有问题请追问

Answer 2

（1）由题意可知，AB的斜率为1
当AB经过坐标原点时，AB的方程为y=x
由弦长公式可得
AB=√(1+k^2)[(x1+x2)^2-4x1x2] ①
又由x^2＋3y^2=4以及y=x联立可得
x^2-1=1
所以x1=√2,x2=-√2
带入①式解得
AB=4

（2）当ABC=90°时B在直线y=x+2上的映射就是C
设直线AB为y=x+m则有
x^2＋3y^2=4和y=x+m联立可得
4x^2+6mx+3m^2-4=0 ②
又根据斜率为1的直线与x轴夹角45°这条几何关系可知
BC^2=(2-m)^2/2
又由②式可得
x1+x2=-3m/2
x1x2=(3m^2-4)/4 ③
将③带入①记得
AB^2=2(9m^2/4-3m^2+4)=2(4-3m^2/4)
所以AC^2=AB^2+BC^2=-m^2-2m+10
在②式的△>0的前提下，-m^2-2m+10取最大值时，AC最长
此时-4√3/3＜m＜4√3/3
又函数f(m)=-m^2-2m+10的对称轴为m=-1属于-4√3/3＜m＜4√3/3
所以当m=-1时AC取最大值
最大值
ACmax=(-40-4)/(-4)=11

不懂再问，希望采纳

Answer 3

1根据直线L 斜率为1 且AB平行于L 可求的AB是二倍根号二。 并且可以求的AB的方程
AB平行于L 可以求得L到AB的距离 三角行面积是底面积乘高除二，所以不管C在什么位置 面积都是一样的

2不好打字说