根据题意作下图，并设BC=2a，AD=L，取BC的中点O为坐标原点，A点坐标设为(x,y)；
由两点距离公式可得：(x-a)²+y²=5²、(x+a)²+y²=3²、L²=x²+(y-a√3)²；
前两式相减得 4xa=-16，∴x=-4/a，代入第一式得y²=25-(-4/a-a)²=17-a²-16/a²，y=-√(17-a²-4/a²)；
将x、y代入最后一式L²=(-4/a)²+(17-a²-16/a²)+2(a√3)*√(17-a²-4/a²)+3a²=17+2a²+2a√3*√(17-a²-4/a²)
→ (L²-17-2a²)=2a√3*√(17-a²-4/a²) → (L²-17-2a²)²=12a²*(17-a²-4/a²)
→ (L²-17)²-4a²(L²-17)+4(a²)²=204a²-12(a²)²-48 → 16(a²)²-[4(L²-17)+204]a²+(L²-17)²+48=0；
若△ABC存在，即a²存在，则上列方程根的判别式不小于0：[4(L²-17)+204]²-4*16*[(L²-17)²+48]≥0；
上式可整理为关于(L²-17)的一元二次不等式：-3(L²-17)²+102(L²-17)+2409≥0；
解得 L²-17≤17+2√273，∴ Lmax=√[34+2√273]≈8.188；
对应 a²=[4(L²-17)+204]/(2*16)=[(17+2√273)+51]/8=(34+√273)/4，∴ a=[√(34+√273)]/2≈3.554；
cosA=(3²+5²-4a²)/(2*3*5)=[34-4*(34+√273)/4]/30=(-√273)/30≈-0.550757，A≈123.419°；
也可以通过求极值来解；将前L计算式改为 L²=34+2(a²-17/2)+2√3√[273/4-(a²-17/2)²]；
令 u=a²-17/2 并令 d(L²)/du=0 找极值点：2+(2√3)*(-u)/√[273/4-u²]=0，即 3u²=273/4-u²；
从而得 u=±(√273)/4，a=√(u+17/2)=√[±(√273)/4+17/2]=√[34±(√273)]/2={2.090，3.554}；
显然L取极大值对应u=a²-17/2=(√273)/4：
L²max=34+2*(√273)/4+2√3√[273/4-((√273)/4)²]=34+2√273；Lmax≈8.188，对应a=√(34+√273)/2；