已知二次函数y=x^2+bx-c的图像过两点P(1,a) Q(2,10a)<1>如果a,b,c都是整数，且c<b<8a，求a,b,c的值

Question

已知二次函数y=x^2+bx-c的图像过两点P(1,a) Q(2,10a)
<1>如果a,b,c都是整数，且c<b<8a，求a,b,c的值
<2>设二次函数y=x^2+bx-c的图像与x轴的交点为A,B,C与y轴交点为C，如果关于x的方程x^2+bx-c=0的两个根都是整数，求三角形ABC的面积

Answer 1

分析：
（1）代入两点坐标，求得b、c（用a表示），再由已知c＜b＜8a，联立不等式组求得a、b、c的值；
（2）设出程x2+bx-c=0的两个根，根据根与系数的关系与因式分解求得两根，得出函数解析式，进一步求得图象与x、y轴的交点A、B、C三点解答问题．

解答：
解：点P（1，a）、Q（2，10a）在二次函数y=x2+bx-c的图象上，
故1+b-c=a，4+2b-c=10a，解得b=9a-3，c=8a-2；
（1）由c＜b＜8a知8a-2＜9a-3，9a-3＜8a，
解得1＜a＜3，
又a为整数，所以a=2，b=9a-3=15，c=8a-2=14；
（2）设m，n是方程的两个整数根，且m≤n．
由根与系数的关系可得m+n=-b=3-9a，mn=-c=2-8a，
消去a，得9mn-8（m+n）=-6，
两边同时乘以9，得81mn-72（m+n）=-54，分解因式，得（9m-8）（9n-8）=10．
所以9m-8=1，9n-8=10或
9m-8=-10，9n-8=-1或
9m-8=-5，9n-8=-2或
9m-8=2，9n-8=5，
解得m=1，n=2或m=-2/9，n=7/9或m=1/93，n=2/3或m=10/9，n=1/39；
又∵m，n是整数，所以后面三组解舍去，
故m=1，n=2．
因此，b=-（m+n）=-3，c=-mn=-2，
二次函数的解析式为y=x²-3x+2．
易求得点A、B的坐标为（1，0）和（2，0），点C的坐标为（0，2），
所以△ABC的面积为1/2×(2-1)×2=1．

点评：此题主要考查二次函数图象上点的坐标特点、根与系数的关系、不等式组、以及三角形的面积计算公式．

有疑问可以追问哦，。