《新概念物理教程 力学》的一道习题
如图，用细线将一质量为m的大圆环悬挂起来。两个质量均为M的小圆环套在大圆环上，可以无摩擦滑动。若两小圆环沿相反方向从大圆环顶部自静止下滑，求在下滑过程中，θ角取多少时大圆环刚能升起。（要有具体分析）
简单分析下：
大圆环刚好升起，说明是大圆环受小圆环的弹力沿竖直方向的分量大于的大圆环的重力，导致其被提升。从这个分析可知，只要计算小圆环对大圆环的弹力即可做判断。
机械能守恒，小圆环的速度 v²=2gR(1-cosθ)，做圆周运动所需向心力 F=Mv²/R=2Mg(1-cosθ)
由受力关系，小圆环的重力和弹力在径向方向分量合成提供向心力，得 N+Mgcosθ=F，
故 N=Mg(2-3cosθ)
分离时，弹力该竖直分量刚好等于大圆环重力，即 2Mg(2-3cosθ)cosθ = mg，
得 3cos²θ-2cosθ+m/(2M)=0, (cosθ-1/3)²=1/9-m/(6M)≥0
要方程有解，必须 M≥1.5m，此时 cosθ=1/3±√[1/9-m/(6M)]
θ从0开始变大，cosθ从1开始变小，故最先达到的是 cosθ=1/3+√[1/9-m/(6M)]，此时 θ=arccos{1/3+√[1/9-m/(6M)]}
综合以上分析，结论如下：
必须满足 M≥1.5m ，才可能出现大圆环升起的情况，大圆环刚能升起时，θ=arccos{1/3+√[1/9-m/(6M)]}
大圆环刚好升起，说明是大圆环受小圆环的弹力沿竖直方向的分量大于的大圆环的重力，导致其被提升。从这个分析可知，只要计算小圆环对大圆环的弹力即可做判断。
机械能守恒，小圆环的速度 v²=2gR(1-cosθ)，做圆周运动所需向心力 F=Mv²/R=2Mg(1-cosθ)
由受力关系，小圆环的重力和弹力在径向方向分量合成提供向心力，得 N+Mgcosθ=F，
故 N=Mg(2-3cosθ)
分离时，弹力该竖直分量刚好等于大圆环重力，即 2Mg(2-3cosθ)cosθ = mg，
得 3cos²θ-2cosθ+m/(2M)=0, (cosθ-1/3)²=1/9-m/(6M)≥0
要方程有解，必须 M≥1.5m，此时 cosθ=1/3±√[1/9-m/(6M)]
θ从0开始变大，cosθ从1开始变小，故最先达到的是 cosθ=1/3+√[1/9-m/(6M)]，此时 θ=arccos{1/3+√[1/9-m/(6M)]}
综合以上分析，结论如下：
必须满足 M≥1.5m ，才可能出现大圆环升起的情况，大圆环刚能升起时，θ=arccos{1/3+√[1/9-m/(6M)]}
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第1个回答 2013-02-26
M不一样，如何分析。。。
第2个回答 2013-02-26
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