微观经济学中闲暇时间的定义

Question

范里安的中级微观经济学-有关购买与销售一章的题目
某先生每天有18小时可以选择工作和闲暇.他的效用函数为U(C,R)=CR,其中R为闲暇时间,C为每年消费.如果他每天有19元的非劳动收入,每小时的工资为15元,则表示他能够支付得起的消费和闲暇的组合的预算方程是什么?
答案是15R+C=289
2.某消费者效用函数为U（x,y,R）=（x+y)R^2,其中x,y表示他消费两种商品的数量,R是她每天的闲暇时间.商品X价格为4元/单位,商品Y的价格为2元/单位.她目前的工资为每小时8元,无其他收入.她每天有15个小时选择工作还是休闲.她会怎样选择?
答案是她每天会消费20单位商品Y.
希望可以提供一下上面两题详细的计算过程是怎样的,

Answer 1

解
预算方程包含价格和总收入2个要素.选择闲暇,就不能工作,也就不能得到工作的收入,所以1小时闲暇的成本（价格）就是1小时的工作收入15.1天工作18小时的收入为15*18=270,则总收入为270+19=289元.
C应该是每天的消费,闲暇和消费不能超过收入,则15R+C≤289,（这里没有给出C的价格）.那么,他能支付得起的闲暇和消费就是15R+C=289（等号表示把收入都花光）
第一步还是先获得预算方程：4x+2y+8R=120.
接下来如果我们列出如下数学规划：
max U(x,y,R)
s.t. 4x+2y+8R=120
并用拉格朗日条件极值法求解,会得到一组含有矛盾方程的方程组,因此这个思路必须放弃.

假定我们得到一组最优值,比如R的具体数值,带入效用函数,就可以发现x,y是完全替代的,期无差异曲线是一条向下倾斜的直线,这种情况最优解必定是角点解（这也就是拉格朗日方法失效的原因）.既然是角点解,我们就能断定x=0（y便宜）,所以上面的数学规划可以退化为：
max u=yR²
s,t. 2y+8R=120
现在再使用拉格朗日条件极值法
L=u+t[120-2y-8y]
dL/dy=0
dL/dR=0
dL/dt=0
求解上述方程组.这里会有R=0情况,排除（不休息,拼命工作赚钱为了消费y,可是效用还是为0）；取另一种情况2R=y,带入预算方程：6y=120,y=20,R=10.