极坐标法极坐标下的导数的几何意义

Question

如题所述

Answer 1

在极坐标系中，曲线C的描述通过极坐标方程r=r(θ)来表示，它对应的参数方程是{x=r(θ)cosθ, y=r(θ)sinθ}，其中θ代表极角。当我们运用参数方程求导的方法，可以计算出曲线C在某点M(r,θ)的切线特性。切线对x轴的斜率可以通过以下公式得出：y'(θ) = [r'(θ)sinθ + r(θ)cosθ] / [r'(θ)cosθ - r(θ)sinθ]，进一步简化为y'(θ) = r'(θ)tanθ + r(θ) / r'(θ) - r(θ)tanθ。

在这个过程中，曲线C的极半径OM和切线MT之间的夹角Ψ与极角α和θ之间的差有关，即Ψ=α-θ。利用这个关系，我们可以得到一个重要的几何关系：tanΨ = [tan(α-θ)] = [y'(θ) - tanθ] / [1 + y'(θ)tanθ]。

当将y'(θ)的表达式代入这个公式并化简后，我们得到tanΨ = r(θ) / r'(θ)。这个公式直观地展示了在极坐标系中，曲线的极半径r(θ)与其导数r'(θ)之间的比例，实际上就等于极半径与曲线切线之间的夹角的正切值。这个结果强调了极坐标下导数与几何形状之间紧密的联系。