相似性的合比性质和等比性质有哪些

Question

如题所述

Answer 1

比例的性质
（1）基本性质如果a/b=c/d,那么ad=bc(b,d≠0).即比例中，两外项的乘积等于两内项的乘积。反之也成立，即如果ad=bc，那么a/b=c/d(b,d≠0)。（2）合比性质如果a/b=c/d,那么（a+b）/b=(c+d)/d(b,d≠0).证明：∵a/b=c/d，∴a/b+1=c/d+1，即（a+b）/b=(c+d)/d。（3）分比性质如果a/b=c/d,那么（a-b）/b=(c-d)/d(b,d≠0).证明：∵a/b=c/d，∴a/b-1=c/d-1，即（a-b）/b=(c-d)/d。
（4）合分比性质
如果a/b=c/d,那么（a+b）/(a-b)=(c+d)/(c-d).
证明：∵a/b=c/d，
∴（a+b）/b=(c+d)/d①
（a-b）/b=(c-d)/d②
①÷②，得（a+b）/(a-b)=(c+d)/(c-d).
（5）反比性质
如果a/b=c/d,那么b/a=d/c(a,b,c,d≠0).
证明：∵a/b=c/d，
∴1÷a/b=1÷c/d，即b/a=d/c。
（6）更比性质
如果a/b=c/d,那么a/c=b/d或d/b=c/a。
证明：∵a/b=c/d，
∴ad=bc,
∴a/c=b/d或d/b=c/a
（7）等比性质
如果a1/b1=a2/b2=...=an/bn,且b1+b2+...+bn≠0,那么（a1+a2+...+an）/(b1+b2+...+bn)=a1/b1.
证明：设a1/b1=a2/b2=...=an/bn=k(k≠0),
则a1=kb1,a2=kb2,...,an=kbn,
∴（a1+a2+...+an）/(b1+b2+...+bn)
=(kb1+kb2+...+kbn)/(b1+b2+...+bn)
=k(b1+b2+...+bn)/(b1+b2+...+bn)
=k=a1/b1.
等比性质的推广：（1）根据等比性质可知，相似多边形周长的比等于它们的相似比。
（2）如果a1/b1=a2/b2=...=an/bn=k（n为奇数，k≠0），且b1+b3+...+bn≠0,那么（a1+a2+...+an）/(b1+b2+...+bn)=(a1+a3+...+an)/(b1+b3+...+bn)=k.
证明：∵a1=kb1,a2=kb2,a3=kb3,....,an=kbn,
∴（a1+a2+...+an）/(b1+b2+...+bn)=k,
∴(a1+a3+...+an)/(b1+b3+...+bn)
=(kb1+kb3+...+kbn)/(b1+b3+...+bn)
=k(b1+b3+...+bn)/(b1+b3+...+bn)
=k
∴（a1+a2+...+an）/(b1+b2+...+bn)=(a1+a3+...+an)/(b1+b3+...+bn)=k.
2.比例性质的应用
(1)利用比例的性质进行计算
例1.已知a/b=2,求(a+b)/(a-b)的值。
解法1.（代入法）∵a/b=2，∴a=2b,
把a=2b代入(a+b)/(a-b)=（2b+b）/(2b-b)=3.
解法2.（参数法）∵a/b=2，∴设a=2k(k≠0),则b=k.
把a=2k，b=k代入(a+b)/(a-b)=（2k+k）/(2k-k)=3.
例2.已知（x+3y）/2y=7/2，求x/y的值。
解法1.（直接利用比例的基本性质）由比例的基本性质，得2（x+3y）=14y,
∴x=4y,∴x/y=4.
解法2.（逆用分式的加法将原式变形）由已知条件，得x/2y+3/2=7/2,
∴x/2y=2,∴x/y=4.
解法3.（先化简，再逆用分式的加法）有已知条件，得（x+3y）/y=7,
∴x/y+3=7,∴x/y=4.
（2）设辅助元素求值
例3.已知a,b,c满足（a+4）/3=(b+3)/2=(c+8)/4,且a+b+c=12，试求a,b,c的值。
分析：设辅助元素求解 。
解：设（a+4）/3=(b+3)/2=(c+8)/4=k（k≠0）,
得a=3k-4,b=2k-3,c=4k-8.
∵a+b+c=12,
∴3k-4+2k-3+4k-8=12
解得k=3,
∴a=5,b=3,c=4.
例4.已知△ABC的三边分别为a,b,c,且（a-c）：（a+b）：（c-b）=（-2）：7：1.试判断△ABC的形状。
解：设a-c=-2k,a+b=7k,c-b=k(k≠0),
解得a=3k,b=4k,c=5k
∴△ABC的三边a,b,c满足勾股数，即a^2+b^2=c^2,
∴△ABC是直角三角形。