绝对值不等式

Question

如题所述

Answer 1

性质
|a|表示数轴上的点a与原点的距离叫做数a的绝对值。

两个重要性质：

1.|ab| = |a||b|

|a/b| = |a|/|b| （b≠0）

2.|a|<|b| 可逆 a²;<b²;

||a| - |b|| ≤ |a+b| ≤ |a|+|b|，当且仅当 ab≤0 时左边等号成立，ab≥0
时右边等号成立。

另外有：|a-b| ≤ |a|+|-b| = |a|+|-1|*|b| = |a|+|b|

| |a|-|b| | ≤ |a±b| ≤ |a|+|b|

2几何意义

1.当a，b同号时它们位于原点的同一边，此时a与﹣b的距离等于它们到原点的距离之和。
2.当a，b异号时它们分别位于原点的两边，此时a与﹣b的距离小于它们到原点的距离之和。

(|a-b|表示a-b与原点的距离，也表示a与b之间的距离)

3相关公式

绝对值重要不等式推导过程

我们知道

x，(x>0);

|x|={ x，(x=0);

因此，有：

-|a|≤a≤|a| ......①

-|b|≤b≤|b| ......②

-|b|≤-b≤|b|......③

由①+②得：

-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|

即 |a+b|≤|a|+|b| ......④

由①+③得：

-(|a|+|b|)≤a-b≤|a|+|b|

即 |a-b|≤|a|+|b| ......⑤

另：

|a|=|(a+b)-b|=|(a-b)+b|

|b|=|(b+a)-a|=|(b-a)+a|

由④知：

|a|=|(a+b)-b|≤|a+b|+|-b| =>
|a|-|b|≤|a+b|.......⑥

|b|=|(b+a)-a|≤|b+a|+|-a| =>
|a|-|b|≥-|a+b|.......⑦

|a|=|(a-b)+b|≤|a-b|+|b| =>
|a|-|b|≤|a-b|.......⑧

|b|=|(b-a)+a|≤|b-a|+|a| =>
|a|-|b|≥-|a-b|.......⑨

由⑥，⑦得：

| |a|-|b| |≤|a+b|......⑩

由⑥，⑦得：

| |a|-|b| |≤|a-b|......⑪

综合④⑤⑩⑪得到有关
绝对值(absolute value)的重要不等式

|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|

要注意等号成立的条件（特别是求最值），即：

|a-b|=|a|+|b|→ab≤0

|a|-|b|=|a+b|→b(a+b)≤0

|a|-|b|=|a-b|→b(a-b)≥0

注：|a|-|b|=|a+b|→|a|=|a+b|+|b|→|（a+b）-b|=|a+b|+|b|→b(a+b)≤0

同理可得|a|-|b|=|a-b|→b(a-b)≥0

另 “→”指可双向推出

解法

解决与绝对值有关的问题（如解绝对值不等式，解绝对值方程，研究含有绝对值符号的函数等等），其关键往往在于去掉绝对值符号。而去掉绝对值符号的基本方法有二。

以下，具体说说绝对值不等式的解法：

其一为平方，所谓平方，比如，|x|=3，可化为x^2=9，绝对值符号没有了！

其二为讨论，所谓讨论，即x≥0时，|x|=x ；x<0时，|x|=-x，绝对值符号也没有了！

说到讨论，就是令绝对值中的式子等于0，分出x的段，然后根据每段讨论得出的x值，取交集，综上所述即可。

4应用

解不等式|x-x²-2|>x²-3x-4

解 ∵|x-x²-2|=|x²-x+2|

而x²-x+2=(x-1/4)²+7/4>0

所以|x-x²-2|中的绝对值符号可直接去掉.

故原不等式等价于x²-x+2>x²-3x-4

解得：x>-3
∴ 原不等式解集为{x>-3}

Answer 2

想问这类不等式咋解？你问的太笼统了，我给你举个最简单的例子：X的绝对值大于2，思路是，假设等于2，那么X就=±2，现在要大于2，那它的范围笨想都出来了，X大于2或者X小于-2.如果是X绝对值小于2，那么答案假设X在-2和2之间。追问

已经找到了，仍然谢谢你!

Answer 3

负的绝对值等于相反数。。追答

正的等于它本身

零没有

追问

不是这个，

追答

你说的什么啊。。都没懂

追问

和这个差不多的一些不等式

追答

这个是你们老师上课讲的吧

追问

是的，有其他的几个没有？

追答

不知道。。问同学吧。。其实数学别死背公式。。重在理解

Answer 4

你要问什么？追问

绝对值不等式的那一串公式

追答

我也忘了，给例题，我就会做