设f(x)=x㏑(1+x^2)，x≥0。(x^2+2x-3)e^(-x)，x＜0，求∫f(x)dx

Question

如题所述

Answer 1

当x=0时，f(x)不连续，故f(x)的原函数分成两部分:
x>0,∫f(x)dx=∫x㏑(1+x^2)dx=(1/2)∫㏑(1+x^2)d(x^2)
=(1/2)ln|ln(1+x^2)|+C1
x<0,∫f(x)dx=∫(x^2+2x-3)e^(-x)dx=-∫(x^2+2x-3)de^(-x)
=-(x^2+2x-3)e^(-x)+∫(2x+2)e^(-x)dx
=-(x^2+2x-3)e^(-x)-∫(2x+2)de^(-x)
=-(x^2+2x-3)e^(-x)-(2x+2)e^(-x)+∫2e^(-x)dx
=-(x^2+2x-3)e^(-x)-(2x+2)e^(-x)-2e^(-x)+C2
=-e^(-x)(x^2+4x+1)+C2