向量的运算

Question

如题所述

Answer 1

设向量a=（x1,y1），b=（x2,y2）。向量加法满足平行四边形法则和三角形法则，即OB+OA=OC。向量加法运算律包括交换律a+b=b+a和结合律（a+b)+c=a+(b+c)。若向量a和b互为相反数，则a=-b，b=-a，a+b=0。0向量的反向量为0。OA-OB=BA，表示“共同起点，指向被减向量的终点”。若a=(x,y)，b=(x',y')，则a-b=(x-x',y-y')。

实数λ和向量a的叉乘积λa是一个向量，|λa|=|λ|*|a|。当λ>0时，λa的方向与a相同；当λ1时，表示伸长或缩短为原来的|λ|倍；当|λ|<1时，表示缩短为原来的|λ|倍。

向量a和b的夹角θ定义为∠AOB，0≤θ≤π。向量a和b的数量积a·b是一个数量，若a、b不共线，则；若a、b共线，则a·b=x·x'+y·y'。数量积运算律包括交换律a·b=b·a、结合律(λa)·b=λ(a·b)、分配律(a+b)·c=a·c+b·c。数量积性质有a·a=|a|²，a⊥b〈=〉a·b=0，|a·b|≤|a|·|b|。数量积与实数运算不同点：不满足结合律、不满足消去律、|a·b|与|a|·|b|不等价、|a|=|b|不能推出a=b或a=-b。

向量a和b的向量积a×b是一个向量，模是|a×b|=|a|·|b|·sin〈a，b〉，方向垂直于a和b，构成右手系。a×a=0，a平行b〈=〉a×b=0。向量积运算律包括a×b=－b×a、(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb)、a×(b+c)=a×b+a×c、(a+b)×c=a×c+b×c（左、右分配律）。向量积的混合积(a,b,c)=(a×b)·c，性质包括平行六面体体积V，a、b、c构成右手系时混合积是正数；当a、b、c构成左手系时，混合积是负数；三向量共面的充要条件是(abc)=0；(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb)。

例题：正方形ABCD,EFGA,CHIK首尾相连，L是EH中点，求证LB⊥GK。设AE=a，AG=a'，AD=c，AB=c'，CH=b，CK=b'，有aa'=bb'=cc'=0，a2=a'2，b2=b'2，c2=c'2，a'b=ab'，a'c'=-ac，a'c=ac'，bc=b'c'。b'c=-bc'。EH=-a+c+c'+b，LB=EH/2-b-c=(-a-c+c'-b)/2，GK=-a'+c'+c+b'。从b'c=-bc'，(EH/2-b-c)·(GK)……=0。∴LB⊥GK。

二重向量叉乘计算复杂，化简公式为。给定空间内四个向量a、b、c、d，则这四个向量之间满足如下关系。证明：由混合积性质（c×d看成一个新的向量e，利用性质(a×b)·e=a·(b×e)）。再根据二重向量积性质可知。该公式可用于证明三维柯西不等式。证明：令公式中a=c、b=d，则：设，那么：即。等号成立条件是a、b共线或b=0。