第一宇宙速度的推导：根据牛顿的万有引力定律 \( F = G\frac{m_1m_2}{r^2} \)，其中 \( G \) 是万有引力常数，\( m_1 \) 和 \( m_2 \) 是两个物体的质量，\( r \) 是它们之间的距离。对于一个绕行星表面飞行的卫星，可以将行星视为 \( m_1 \) ，卫星视为 \( m_2 \) ，\( r \) 为行星半径 R。当卫星做圆周运动时，向心力由万有引力提供，即 \( m\frac{v^2}{R} = G\frac{Mm}{R^2} \)，其中 M 是行星的质量。通过简化，我们可以得到卫星的速度 v 的表达式：\( v = \sqrt{\frac{GM}{R}} \)。使用地球的物理参数，M 约为 \( 5.98 \times 10^{24} \) 千克，R 约为 6400 千米，可以计算出第一宇宙速度。
第二宇宙速度的推导：第二宇宙速度是指物体挣脱地球引力束缚，飞向太阳系外的速度。根据能量守恒定律，物体在地球表面具有的机械能（势能加动能）等于其在无穷远处（假设为太阳系外）的机械能。设物体在地球表面的速度为 v，无穷远处的速度为 v_inf，地球的质量为 M，地球半径为 R，太阳系外的势能为 0，则有 \( \frac{1}{2}mv^2 + \frac{GMm}{R} = \frac{1}{2}mv_{inf}^2 \)。解这个方程可以得到第二宇宙速度 \( v_{inf} = \sqrt{\frac{2GM}{R}} \)。
第三宇宙速度的推导：第三宇宙速度是指物体挣脱太阳引力束缚，飞向宇宙深处的速度。对于一个在地球轨道上的物体，要脱离太阳系，其速度不仅要超过第二宇宙速度，还要额外克服太阳的引力。设物体的质量为 m，太阳的质量为 M_sun，地球到太阳的平均距离为 a，则有 \( \frac{GM_sm}{R^2} + \frac{GM_em}{a^2} = m\frac{v^2}{R} \)，其中 M_em 是地球的质量。解这个方程可以得到第三宇宙速度的大小。
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