关于不定积分

Question

如题，我觉得是A，但是正确答案是D，求详细步骤，本人不太会这题

Answer 1

这是分部积分法的一种类型.
∫e^(x) cosx dx
＝∫e^(x) dsinx
＝e^(x)sinx-∫e^(x) sinx dx
＝e^(x)sinx+∫e^(x) dcosx
＝e^(x)sinx+e^(x)cosx－∫e^(x) cosx dx
移项，得∫e^(x) cosx dx＝1/2×e^(x)(sinx+cosx)＋C

Answer 2

∫e^xcosxdx

=∫e^xdsinx
=e^xsinx-∫sinxe^xdx
=e^xsinx+∫e^xdcosx
=e^xsinx+e^xcosx-∫cosxe^xdx

∫e^xcosxdx=1/2(e^xsinx+e^xcosx)

选D