求极限问题，例题不明白

Question

如图，红色部分，我无法理解，感觉很牵强附会。

蓝色的条件明明是趋向负无穷大，红色却直接蹦到 x0 了

总之就是无法理解啦。

Answer 1

这关乎极限的定义吧。比如x趋于正无穷时，f（x）趋于a，那么我说，存在一个x0，使得当x>x0时，f（x）>a/2，你说这个命题对吗？这个命题是正确的，你可以这么想，首先f（x）在实数域上是连续的（这个条件很重要，我前面忘记说了），那么有介值定理吧，必定存在一个在无穷远的值无限接近a，而连续性保证了这个数值不是突变出现的，而是存在一条曲线使之出现的，也就是说在x很大很大，将近无穷的情况下，我可以保证这条曲线是单调增的，那么也必定存在这个单调增的某一点的函数值大于a/2，所以这个命题正确。如果你看不懂我的解释的话，建议你翻看极限的性质，我记得那里有类似的例题。我使用连续性来解释的。如果你明白这个命题的话，你的问题就是
a small case。追问

谢谢您的回答。我非常喜欢您的回答，让我清晰的了解了这个事情的本质，比书上那些好多了。我也认为我理解了。

 

但是这句话“我可以保证这条曲线是单调增的，那么也必定存在这个单调增的某一点的函数值大于a/2”，我认为我和您有不同的看法，我已经补充在图上了。

 

我并不是为了挑刺，只是想弄清自己的弱点，从而考试时候少丢分。

追答

不是，我是说在无穷远处，即在x0很大很大的地方接近无穷的情况，不是在某一确定的位置，只是理论上存在这个位置，但你无法找到。但是不排除有无限震荡的情况，但是这样它的极限还存在吗？你可以想一想。另外单调减的情况我认为是存在的，这也是我写的不够严密。你是对的，应该存在单调减的情况（应该分情况考虑），但是从某点开始都大于a了，当然也是大于a/2。

Answer 2

函数极限的保号性。追问

那是指在 负无穷大 附近吧