在数学的神秘世界中，四元数群G以其独特的结构引人入胜。这个群由八位神秘元素组成：1，i，j，k，以及它们的负号版本－1，－i，－j，－k，它们遵循着严格的乘法规则：(-x)y = x(-y) = -(xy)，-(-x) = x。 看似简单的规则，却隐藏着丰富的群论特性。
首先，我们来梳理这些元素的基本特性。在G中，1是那个特殊的存在，它既是单位元，也是阶为2的元素，而i，j，k，－i，－j，－k则各自具有阶4，它们的二次幂都是－1，象征着一个特殊的对称性。更有趣的是，它们两两成对，彼此之间互为三次幂的逆元，比如i^3 = -i，这就为我们理解群的结构提供了关键线索。
现在，我们开始探索四元数群的真子群。由于G的阶数为8，根据拉格朗日定理，任何真子群的阶数只能是2或4。我们逐一破解这个谜题：
1. 真子群阶数为2
当真子群的阶数为2时，它是一个素数阶群，这意味着它是循环群，仅包含一个二阶元素-1。因此，唯一可能的真子群是<-1>，仅由-1本身构成。
2. 真子群阶数为4
阶数为4的真子群包含G中的四个元素，其中必然包括1。这时，我们有四种可能的组合：包含i，j，k，或者它们的负号版本。例如，如果包含i，那么它将包括1，i^2=-1，i^3=-i，形成了一个完整的子群<i>=<-i>。同样的逻辑适用于其他元素，每种情况都对应一个真子群。
总结一下，我们找到了四个符合要求的真子群：
H=<-1>
H=<i>=<-i>
H=<j>=<-j>
H=<k>=<-k>
这个发现揭示了四元数群的惊人之处：它的真子群个数恰好是四个，且全部为循环群。这个群不仅是阶数最小的Hamilton群，也是近世代数中一个不可或缺的经典例子，展示着数学的精妙与美丽。
在探索更深层次的数学奥秘时，四元数群的这个特性无疑为我们提供了一个有趣的起点，让我们更加深入地理解群论的魔力。