参数方程的二阶导数怎么求例题

Question

如题所述

Answer 1

如何求参数方程的二阶导数
对于参数方程，我们有 x = f(t) 和 y = g(t)。首先，我们求出 dx 和 dy：
dx = f'(t)dt
dy = g'(t)dt
然后，我们可以求出 dy/dx：
dy/dx = g'(t)/f'(t)
如果我们将参数 t 消去，用 x 表示 t，即 t = f^(-1)(x)，那么我们有：
y = g(f^(-1)(x))
此时，dy/dx 的表达式变为：
dy/dx = g'(f^(-1)(x)) * f^(-1)(x)'
= g'(f^(-1)(x))/f'(t)
= g'(t)/f'(t)
这个结果与我们直接对参数方程求 dy/dx 得到的结果是一样的。
接下来，我们求二阶导数 d²y/dx²。首先，我们对 dy/dx 求导：
d(dy/dx)/dx = [g'(t)/f'(t)]'dt
= [g''(t)f'(t) - g'(t)f''(t)]/f'(t)²
现在，我们要将 dt 转换为 dx，利用 dx = f'(t)dt，我们有：
d²y/dx² = [g''(t)f'(t) - g'(t)f''(t)]/f'(t)³
这个表达式就是参数方程的二阶导数。
在函数 y = f(x) 中，二阶导数 y'' = f''(x) 描述了函数的凹凸性。如果 y'' > 0，函数在相应的区间上是下凹的；如果 y'' 0，函数在相应的区间上是上凸的。此外，二阶导数还可以用来确定函数的极值点。当一阶导数 f'(x) = 0 且二阶导数 f''(x) > 0 时，函数在这一点取得极小值；当一阶导数 f'(x) = 0 且二阶导数 f''(x) < 0 时，函数在这一点取得极大值；当一阶导数和二阶导数都等于 0 时，函数在这一点为驻点。