向量的线性运算

Question

已知任意四边形ABCD,E为AD的中点，E为BC的中点，求证2向量FE=向量BA+向量CD

Answer 1

不到万不得已，是不需要建系的：
再说，这个题目中的四边形是任意的
也没说一定是平面四边形，建的那个系是不行的
FB=-FC，EA=-ED
即：AE=-DE
FE=FB+BA+AE------(1)
FE=FC+CD+DE-----(2)
(1)+(2)：2FE=(FB+FC)+BA+CD+(AE+DE)
即：2FE=BA+CD

Answer 2

Answer 3

以A为坐标原点，AD方向为X轴正向，建立XOY直角坐标系。由于四边形是任意的，可设B,C的坐标为（xb,yb），（xc,yc）。
向量法：由中点坐标公式得出E,F坐标，之后得出向量FE,BA,CD表达式，得证。
几何法：（以下过程中向量简化表示，如AB即表示向量AB）
由于F为BC中点，可得BD=FC
又 BF=BA+AF,FC=FD+DC
可得到FD-AF=BA-DC,等价于FD+FA=BA+CD
又FD+FA=2FE,结论得证。

Answer 4

Answer 5

以A为坐标原点，AD方向为X轴正向，建立XOY直角坐标系。由于四边形是任意的，可设B,C的坐标为（xb,yb），（xc,yc）。
向量法：由中点坐标公式得出E,F坐标，之后得出向量FE,BA,CD表达式，得证。
几何法：（以下过程中向量简化表示，如AB即表示向量AB）
由于F为BC中点，可得BD=FC
又 BF=BA+AF,FC=FD+DC
可得到FD-AF=BA-DC,等价于FD+FA=BA+CD
又FD+FA=2FE,结论得证。