120人参加数学竞赛，试题共有5道大题，已知第1、2、3、4、5题分别有96、83、74、66、35人做对，如果至少

120人参加数学竞赛，试题共有5道大题，已知第1、2、3、4、5题分别有96、83、74、66、35人做对，如果至少做对3题便可获奖，问：这次竞赛至少有几人获奖？

推荐答案推荐于2016-12-01

将这120人分别编号为P₁，P₂，…，P₁₂₀，
并视为数轴上的120个点，用A_k表示这120人之中未答对第k题的人所成的组，
|A_k|为该组人数，k=l，2，3，4，5，
则|A₁|=24，|A₂|=37，|A₃|=46，|A₄|=54，|A₅|=85，
将以上五个组分别赋予五种颜色，
如果某人未做对第k题，
则将表示该人点染第k色，k=l，2，3，4，5，
问题转化为，求出至少染有三色的点最多有几个？
由于|A₁|+|A₂|+|A₃|+|A₄|+|A₅|=246，
故至少染有三色的点不多于

246

=82个，
右上图是满足条件的一个最佳染法，
即点P₁，P₂，…，P₈₅这85个点染第五色；
点P₁，P₂，…，P₃₇这37个点染第二色；
点P₃₈，P₃₉，…，P₈₃这46个点染第四色；
点P₁，P₂，…，P₂₄这24个点染第一色；
点P₂₅，P₂₆，…，P₇₈这54个点染第三色；
于是染有三色的点最多有78个．
因此染色数不多于两种的点至少有42个，
即获奖人数至少有42个人（他们每人至多答错两题，而至少答对三题，例如P₇₉，P₈₀，…，P₁₂₀这42个人）．

答：获奖人数至少有42个人．

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