有两圆，大圆半径是小圆半径两倍，问：（1）小圆分别内切和外切圆沿大圆周长运动一周后，小圆分别自转多少

Question

第一问算热身，不用给步骤，大神们做第二问吧，（2）：若小圆上有一点，设初始时刻位于切点位置，当运动一周后，求此点的路程（转运时无滑动)
想得分的而又珍惜时间的请绕过，本题仅供娱乐，期待某些大神们的讨论

Answer 1

这是个有趣味的问题，因为大圆周长是小圆周长的2倍，一般都认为是大圆转一周小圆就转2周，但是，这里的问题是大圆有没有固定？或者，只是圆心固定？另外，小圆有没有固定，也或者只是圆心固定？本人的拙见如下：

一，如果大圆小圆都固定，那么谁也转不了；

二，大圆心固定圆周转动，小圆心固定圆周转动，那么小圆转2周，大圆转1周；

三，大圆固定，小圆边自转边绕着大圆心公转如上图，那么小圆周上一点A顺时针方向自转1周，圆心也绕着大圆心逆时针方向公转1周；点A的运动轨迹是大圆的一条直径；

四，小圆固定，大圆一边自转1周而圆心一边绕着小圆公转1周；

五，大小两圆都不固定，都能转动，这就非常复杂了，也许会跟它们转动时的磨擦力有关，大概超出了我们的讨论范围。

Answer 2

（1）小圆分别内切和外切圆沿大圆周长运动一周后，小圆分别自转2周。
（2）：若小圆上有一点，设初始时刻位于切点位置，当运动一周后，求此点的路程（转运时无滑动)
此点做直线运动，运动的路程是大圆的直径。追问

第一问未必对，第二问那个点不是不是切点，是转动的初始时刻位于切点位置，后面就沿小圆自转了

Answer 3

第一问如果从小圆上一点运动的角度来看确实都是2周，但从整个小圆的转动来看，转动的圈数等于其圆心运动的路程与圆周长的商，内切情况下圆心运动半径为小圆半径，而外切情况下圆心运动半径为小圆半径的三倍，因此内切时小圆自转一周，外切时小圆自转三周。
第二问小圆上运动的轨迹应该是一条摆线，见百科定义：在平面上，一个动圆（发生圆）沿着一条固定的直线（基线）或固定圆（基圆）作纯滚动时，此动圆上一点的轨迹。摆线长度是动圆(小圆)直径的4倍(转一圈的情况下)，因此内切时该点的路程为小圆直径的4倍，而外切时该点路程为小圆直径的12倍。追问

多谢！
第一问，如何解释在小圆转动一周而圆上一点却运动两周
第二问，网上的解释是主要是沿直线运动的，包括摆线方程也是从沿直线运动那得的，对于沿圆运动，不知“摆线长度是动圆(小圆)直径的4倍”是否同样成立

追答

第一问好像想错了，应该都是转了两周，可以这样想：将大圆圆周拉成一条直线，然后无论小圆在这条直线的哪边运动所经过的路程都是一样的，因此小圆都转了两周。
第二问，内切圆得到的应该是内摆线，而外切圆得到的是外摆线，可分别参见百科词条，不过词条上没给出内外摆线长度的求法。

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